Funciones exponenciales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función exponencial de base a
- 1.1 Propiedades
- 1.2 El crecimiento exponencial
2 Calculadora
- 2.1 Exponencial de base 10
- 2.2 Exponencial de base e

Función exponencial de base a

Sea $a>0 \ , (a \ne 1)$ un número real. Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}^+ \\ \, \quad x & \rightarrow & a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base e (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Actividad Interactiva: Función exponencial

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones exponenciales.

Actividad:

En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) $y = 2^x\;$ (en verde); b) $y = 3^x\;$ (en amarillo); c) $y = \left ( \frac{1}{2} \right )^x$ (en rojo); d) $y = \left ( \frac{1}{3} \right )^x$ (en turquesa)

Click aquí si no se ve bien la escena

Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades:

Todas pasan por los punto $(0,1)\;$ y $(a,0)\;$ , donde $a\;$ es la base.
Si la base $a>1\;$ , son crecientes y si $0<a<1\;$ decrecientes.
Son siempre positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
Las gráficas a) y c) son simétricas respecto del eje Y. Lo mismo ocurre con b) y d).

Prueba a cambiar también las funciones por otras. No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.

Propiedades

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en $\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Si $a>1\;$ son crecientes y si $0<a<1\;$ son decrecientes. Su crecicmiento supera al de cualquier función potencia.
Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

El crecimiento exponencial

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud $M\;$ que crece con el tiempo $t\;$ de acuerdo con la ecuación:

$M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,$

Donde:

$M_t\;$ es valor de la magnitud en el instante $t\;$ > 0;

$M_0\;$ es el valor inicial de la variable, valor en $t = 0\;$ , cuando empezamos a medirla;

$r\;$ es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre $t = 0\;$ y $t > 0\;$ ;

$e = 2,718281828459...\;$

Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base $a\;$ haciendo $r=ln(a)\;$ .

$M_t=M_0 \cdot a^t\;$

Ejemplos:

Los siguientes fenómenos siguen un crecimiento exponencial:

El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
El número de bacterias que se reproducen por mitosis.