Plantilla:Semejanza de triángulos

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Tabla de contenidos

1 Triángulos semejantes
2 Teorema de Tales
3 Triángulos en la posición de Tales
4 Criterios de semejanza de triángulos
5 Aplicaciones de los criterios de semejanza
6 Áreas y volúmenes de figuras semejantes

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes son iguales:

$\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}',\ \widehat{C}=\widehat{C}'$

2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:

$\frac {\overline{A'B'}} {\overline{AB}} = \frac {\overline{A'C'}} {\overline{AC}} = \frac {\overline{B'C'}} {\overline{BC}}=r$

donde $r\;\!$ , se la razón de semejanza.

Teorema de Tales

Teorema de Tales

Dos rectas d y d', que se cortan en un punto O, cortadas por rectas paralelas AB y A'B', determinan segmentos proporcionales:

$\frac {\overline{OA'}} {\overline{OA}} = \frac {\overline{OB'}} {\overline{OB}}$

Demostración:

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Demostración:

Observa la siguiente escena y mueve el punto verde para desplazar el triángulo amarillo. Podrás comprobar que los ángulos son iguales

Criterios de semejanza de triángulos

Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: $\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'$
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'$
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}$

Demostración:

En efecto, si tienen dos ángulos respectivamente iguales, el tercero también lo tienen igual. Entonces, esos dos triángulos se pueden poner en la posición de Tales y, en consecuencia, son semejantes.

Aplicaciones de los criterios de semejanza

Actividad Interactiva: Aplicaciones de los criterios de semejanza

Actividad 1: Cálculo de la altura conocida la sombra.

Actividad:

La distancia del Sol a la Tierra es muy grande comparada con la tierra y con los objetos que hay sobre ella, de forma que podemos considerar que los rayos del Sol sobre objetos próximos son paralelos.

En consecuencia, los triángulos que forma tienen sus ángulos iguales y, por tanto, son semejantes. Entonces, al ser los lados de los triángulos proporcionales, tenemos:

$\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'}$

expresión de la cual, conocidos $a\;\!$ , $b\;\!$ y $b'\;\!$ , podemos despejar $a\;\!$ .

$a=\frac {a' \cdot b}{b'}$

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Actividad 2: Halla la altura de un árbol con la ayuda de un espejo y una cinta métrica.

Actividad:

Los triángulos ABC y A'BC' son semejantes. ¿Por qué?

En el punto B se coloca un espejo de forma que desde A se vea el extremo del árbol a través de él.

Calcula la altura del árbol. Pon como distancia AC tu estatura y sitúa el punto C donde te parezca más conveniente.

La altura calculada ¿depende de la altura del observador y de donde se sitúe?

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Actividad 3: Semejanza en triángulos rectángulos.

Actividad:

El triángulo ABC es rectángulo, y también lo son los triángulos ACM y BCM. Toma las medidas que necesites para comprobar que los dos triángulos coloreados son semejantes.

También se puede comprobar que son semejantes si nos fijamos en sus ángulos. ¿Por qué?

Además, cada uno de ellos de los dos triángulos es también semejante al triángulo ABC. ¿Por qué?

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