Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma: $\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
Resta: $\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
Multiplicación: $\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$
División: $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$ , siempre que $c+di\,$ no sea nulo.

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)$
$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)$
$\,(3 + 4i) (2 - 5i)$
$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}$

Solución:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)=3 + 5 + 2i + 6i=8 + 8i$
$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)=6-4-5i+7i=2+2i$
$\,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i$
$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}=\frac{(5 - 3i)(4-2i)}{(4 + 2i)(4-2i)}=\frac{(20-10i-12i+6i^2)}{(16-8i+8i-4i^2)}=\frac{(20-6-10i-12i)}{(16+4)}=\frac{14}{20}-\frac{22}{20}i$

Actividad interactiva: Operaciones con números complejos

Actividad 3: Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(3 + i) + (1 - 3i)$
$\,(-5 + 3i) - (6 + 4i)$
$\,(5 - 4i) + (-1 - i)$
$\,(-3 + 4i)-(3 + i)$

Actividad:

En esta escena tienes representados los números complejos: z1=a+bi y z2=c+di

Así como su SUMA z1+z2 y su RESTA z1-z2 (Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fíjate bien en la escena)

Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena.

Observa la escena y averigua cómo se SUMAN y se RESTAN números complejos.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(-2 -2i) (1 + 3i)$
$\,(2 + 3i)(5-6i)$
$\,(2+3i)(-2-3i)$
$\,(-1-2i)(-1+2i)$

Actividad:

En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos números complejos, z1·z2=(a+bi)(c+di)

Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:

$\,(2+4i):(4-2i)$
$\,(1-4i):(3+i)$
$\,(5+i):(-2-i)$
$\,(4-2i):i$

Actividad:

En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el cociente de dos números complejos, z1:z2=(a+bi):(c+di)

Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z1 y z2 para hallar otras divisiones.

Click aquí si no se ve bien la escena

Propiedades de las operaciones con números complejos

El 0 es el elemento neutro de la suma.
Todo número complejo, $a+bi\,$ , tiene un opuesto, $-a-bi\,$
El 1 es el elemento neutro del producto.
Todo número complejo, $a+bi\,$ , distinto de 0, tiene inverso, $\cfrac{1}{a+bi}$ :