Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Condición para que tres puntos estén alineados
4 Punto medio de un segmento
5 Simétrico de un punto respecto de otro

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Sistema de referencia ortonormal

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia en el que la base es ortonormal.

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos un punto $P\,$ y su vector de posición $\overrightarrow{OP}$ de coordenadas $(4,3)\,$ respecto de una base ortonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

Actividad:

Entonces, el punto $P\,$ tendrá coordenadas $(4,3)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ .

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Cambia los valores de a y b y podrás ver cómo a cualquier otro punto $P\,$ , le corresponde otro vector $\overrightarrow{OP}$ .

Observa cómo las coordenadas de $\overrightarrow{OP}(a,b)$ y lass del punto $P(a,b)\,$ son siempre las mismas.

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:

Partimos de que

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Por tanto,

$\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)$

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos dos puntos $A(4,8)\,$ y $B(7,2)\,$ que dan lugar al vector $\overrightarrow{AB}$ .

Actividad:

Las coordenadas del vector se calculan de la siguiente manera:

$\overrightarrow{AB}=(7,2)-(4,8)=(7-4,2-8)=(3,-6)$

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Ejercicios:

1. Ahora le vas a mover los puntos $A\,$ y $B\,$ para que sus coordenadas tomen los distintos valores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}$ en cada caso y después compruébalo en la escena:

a) $A=(4,8)\, ; \quad B=(6,4)$

b) $A=(5,6)\, ; \quad B=(7,2)$

c) $A=(8,0)\, ; \quad B=(5,6)$

2. ¿Cuáles son las coordenadas del vector $\overrightarrow{BA}$ ? Anótalo en tu cuaderno.(Ayuda: Coloca el punto $A\,$ donde está el $B\,$ y viceversa).

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ tienen la misma dirección.

Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: $\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}$

$(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow \begin{cases} x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \\ y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \end{cases}$

Igualando ambas expresiones de $\lambda \,$ , se obtiene lo que buscamos.

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados

Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(11,4)\,$ , están alineados.

Actividad:

Vamos a comprobar que las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ son proporcionales, y que por tanto, los tres puntos están alineados.

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \quad \rightarrow \quad \cfrac{-1-(-7)}{11-(-1)}=\cfrac{0-(-2)}{4-0} \quad \rightarrow \quad \cfrac{6}{12}=\cfrac{2}{4}$

En efecto, están alineados.

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Ejercicio:

Realiza los cálculos necesarios para comprobar que los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(5,2)\,$ , están alineados. Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto $C\,$ .

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos $P(1,4)\,$ , $Q(5,-2)\,$ y $R(m,n)\,$ . Vamos a variar $m\,$ y $n\,$ , para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Actividad:

Moviendo adecuadamente el punto $R\,$ , o cambiando los valores de $m\,$ y/o $n\,$ , puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.

Mueve el punto $R\,$ , para que sea $m=6n\,$ , y esté alineado con $P\,$ y $Q\,$ . Anota en tu cuaderno el valor de $n\,$ obtenido.
Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de $n\,$ que hemos observado en el apartado anterior:

$\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2)$

$\cfrac{4}{1}=\cfrac{-6}{n+2} \quad \rightarrow \quad n+2= -\cfrac{6}{4} \quad \rightarrow \quad n= -3.5$

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Ejercicio:

1. Ahora mueve el punto $R\,$ para que sea $n=6\,$ , y esté alineado con $P\,$ y $Q\,$ . Anota en tu cuaderno el valor de $m\,$ obtenido.

Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de $m\,$ que has observado en el apartado anterior.

2. Mueve en la escena el punto $R\,$ en un lugar cualquiera que haga que los tres puntos estén alineados, y después de anotar las coordenadas de $R\,$ observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{QR}$ son proporcionales.

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:

Sea $M=(x_3,y_3)\,$ el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . Tenemos que:

$\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow$

$\rightarrow \begin{cases} x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} \\ y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Actividad interactiva: Punto medio de un segmento

Activida 1: En la siguiente escena tenemos el punto medio de un segmento de extremos $A(2,4)\,$ y $B(7,2)\,$ .

Actividad:

El punto medio del segmento es:

$M=\Big( \cfrac{2+7}{2}, \cfrac{4+2}{2} \Big)=(4.5,3)$

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Ejercicio:

Calcula en tu cuaderno las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(-3,7)\,$ y $B(7,-1)\,$ .
Comprueba el resultado en la escena anterior. Moviendo con el ratón los puntos $A\,$ y $B\,$ podrás comprobar cuáles son las coordenadas del punto medio $M\,$ .

Simétrico de un punto respecto de otro

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:

El punto $P(a,b)\,$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$ . Aplicando la fórmula del punto medio:

$P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow \begin{cases} a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x \\ b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Actividad interactiva: Simétrico de un punto respecto de otro

Actividad 1: En la siguiente escena queremos calcular el punto $B(x,y)\,$ , simétrico de $A(2,4)\,$ respecto del punto $M(4.5,3)\,$ .

Actividad:

Vamos a utilizar la misma escena que para el punto medio, ya que los procedimientos son los mismos.

$M=(4.5,3)=\Big( \cfrac{2+x}{2}, \cfrac{4+y}{2} \Big)$

Igualando coordenada a coordenada, tenemos: $B(x,y)=(7,2)\,$

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Ejercicio:

Calcula en tu cuaderno el simétrico, $B\,$ , del punto $A(8,4)\,$ respecto de $M(4,1)\,$ .
Compruébalo en la escena moviendo los puntos $A\,$ y $B\,$ .