La circunferencia (1ºBach)

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Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $X\,$ , cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{X \, , \; d(X,O)=r \big \}$

Ecuación de la circunferencia

De la anterior definición, utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

La ecuación de la circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

Proposición

La ecuación de una circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$

donde: $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ .

Demostración:

Partiendo de la ecuación de la circunferencia:

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\,$

Elevando al cuadrado ambos términos:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

y desarrollando el radicando:

$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\,$

Agrupando términos:

$x^2+y^2-2ax-2bx+a^2+b^2-r^2=0\,$

y llamando $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ , se tiene la ecuación.

Corolario

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$ , su centro y su radio vienen dados por:

$O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2}) \quad , \quad r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}$

Demostración:

Es inmediato a partir de la proposición anterior, despejando $a\,$ , $b\,$ y $r\,$ .

Actividad Interactiva: Ecuación de la circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la ecuación de la circunferencia de centro $O(-3,0)\,$ y radio $r=5\,$ .

Actividad:

Hallamos la ecuación de la cirecunferencia:

$d(X,Q)=r \rightarrow \sqrt{(x+3)^2+(y-0)^2)}=5$

Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando;

$x^2+6x+9+y^2=25 \rightarrow x^2+y^2+6x-16=0$

Su representación gráfica puedes verla en esta escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Mueve el punto X a otro punto de la circunferencia y comprueba que sus coordenadas verifican su ecuación. Observa como el radio no varía.

Nota: La ecuación de la circunferencia (en rojo) es editable. Prueba a cambiarla por otras ecuaciones de circunferencia para ver sus gráficas.

Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia

Una recta $r: \, Ax+By+C=0$ y una circunferencia $s: \, x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0$ pueden ser:

Secantes: si se cortan en 2 puntos.
Tangentes: si se cortan en un punto.
Exteriores: si no se cortan.

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema: $\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

(Nota: Las ecuaciones de la recta y de la circunferencia nos las pueden dar en otra forma.)

Actividad Interactiva: Posición relativa de recta y circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la posición relativa de la recta $r: \, 2x-y+1=0$ y una circunferencia $s: \, x^2+y^2-2x-2y-2=0$ .

Actividad:

Para poder comprobar los resultados en la escena, vamos a poner la ecuación de la recta en forma explícita,

$r: \, 2x-y-1=0 \; \rightarrow \; y=2x+1 \; \rightarrow \; m=2 \, , \; n=1$

Y a partir de la ecuación de la circunferencia tenemos que hallar su centro y su radio, ya que la escena también nos lo exige:

$s: \, x^2+y^2-2x-2y-2=0\; \rightarrow \; \begin{cases} O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(1,1) \; \rightarrow \; a=1 \, , \; b=1 \\ \\ r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{1^2+1^2+2}=2 \end{cases}$

Su representación gráfica puedes verla en la escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema:

$\begin{cases} y=2x+1 \\ x^2+y^2-2x-2y-2=0 \end{cases}$

Lo resolvemos por sustitución:

$x^2+(2x+1)^2-2x-2(2x+1)-2=0\;$

$x^2+4x^2+4x+1-2x-4x-2-2=0\;$

$5x^2-2x-3=0 \; \rightarrow \; x=\begin{cases} x_1=1 \; \rightarrow \; y_1=3 \\ x_2=-\cfrac{3}{5} \; \rightarrow \; y_2=-\cfrac{1}{5} \end{cases}$

Los puntos de corte son: $(1,3)\,$ y $(-\cfrac{3}{5},-\cfrac{1}{5})\,$

Ejercicio:

Halla la posición relativa de la recta $r: \, x-y=0$ y la circunferencia $s: \, x^2+y^2-2x=0$ .

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/La_circunferencia_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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