Potencia de un punto respecto de una circunferencia (1ºBach)

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Potencia de un punto a una circunferencia

Se llama potencia del punto P(p_1,p_2)\, respecto a la circunferencia C\, de centro O(a,b)\, y radio r\, al número

\mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=(p_1 -a)^2+(p_2-b)^2-r^2

Observa que la potencia de P\, respecto a C\, es el valor numérico de la expresión del lado izquierdo de la ecuación de la circunferencia:

(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0\,

ejercicio

Proposición


Sea P(p_1,p_2)\, un punto del plano y una circunferencia C\,. Sean r_1\, úna recta que corta a C en dos puntos: A\, y A'\, y sea r_2\, otra recta que corta a C\, en otros dos puntos: B\, y B'\,. Entonces se cumple que:

\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}=| \mathcal{P}_C(P) |

ejercicio

Actividad interactiva: Potencia de un punto respecto a una circunferencia


Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3.

Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia

Dada una circunferencia de centro O\, y radio r\,, un punto P\,,del plano puede ser:

  • Exterior a la circunferencia: si d(P,O)>r\,
  • Perteneciente a la circunferencia: si d(P,O)=r\,
  • Interior a la circunferencia: si d(P,O)<r\,

En el dibujo de la derecha: A es exterior, B pertenece y C es interior a la circunferencia.

ejercicio

Proposición


Dada una circunferencia C\, y un punto P\, del plano:

  • Si el punto es exterior a la circunferencia: \mathcal{P}_C(P)>0
  • Si el punto pertenece a la circunferencia: \mathcal{P}_C(P)=0
  • Si el punto es interior a la circunferencia: \mathcal{P}_C(P)<0

ejercicio

Ejemplo: Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia


Halla la posición relativa del punto P(7,-4)\, respecto a la circunferencia C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,.

Eje radical de dos circunferencias

Se llama eje radical de dos circunferencias no concéntricas (*), al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias.

(*) El lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias concéntricas es otra circunferencia concéntrica.

ejercicio

Ejemplo: Eje radical de dos circunferencias


Halla el eje radical de las circunferencias:
C_1: x^2+y^2-6x+4y-11=0\,
C_2: x^2+y^2+8x-2y-1=0\,.

ejercicio

Proposición


El eje radical es una recta perpendicular a la recta determinada por los dos centros de las circunferencias.

Construcción geométrica del eje radical

ejercicio

Construcción geométrica del eje radical


  • Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar trazando una perpendicular que pase por el punto medio (M en la figura) del segmento determinado por los puntos de contacto de la tangente a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).
  • Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.
  • Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.
  • Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).

ejercicio

Actividad interactiva: Eje radical de dos circunferencias


Actividad 1: En la siguiente escena puedes ver como es el eje radical de dos circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias

Centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias.

ejercicio

Cálculo del centro radical de tres circunferencias


Para determinar el eje radical de tres circunferencias, se halla la intersección del eje radical de una pareja de circunferencias con el eje radical de otro par de circunferencias.

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