La parábola (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de fecha 18:54 1 abr 2009; Ver revisión actual
← Revisión anterior | Revisión siguiente →

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

La parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$d(P,F)=d(P,d)\,$

Elementos de la elipse

Una una elipse de focos $F\,$ y $F'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y $BB'\,$ , que se cortan en el centro $O\,$ de la elipse, determina los siguientes segmentos:

$a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ (semieje mayor).
$b=\overline{OB}=\overline{OB'}$ (semieje menor).
$c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ (semidistancia focal).

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la elipse)
$a=\overline{BF}=\overline{BF'}$
$a^2=b^2+c^2\,$
$c<a\,$

Demostración:

La constante de la elipse es $k=2a\,$ , ya que, al ser $A\,$ un punto de la elipse:

$k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a$

Por ser $B\,$ un punto de la elipse:

$\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a$

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $BOF\,$ , tenemos

$a^2=b^2+c^2\,$

Por ser $a\,$ la hipotenusa y $c\,$ un cateto, tenemos que $c<a\,$ .

Actividad interactiva: Propiedades de la parábola

Actividad 2: Tiro parabólico

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

En la figura se puede observar la trayectoria de un proyectil (cuya velocidad de salida es constante). Prueba a modificar el ángulo de inclinación inicial.

¿Para qué inclinación se obtiene el alcance máximo?

Activa el trazo de para comprobar la zona de alcance de los proyectiles.

¿Qué tipo de curva limita esa zona "de seguridad"?

Construcciones de la parábola

Actividad interactiva: Construcciones de la parábola

Actividad 1: Método basado en su definición como lugar geométrico.

Actividad:

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: La parábola como envolvente.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto P y observa.

Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P

¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior.

¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada?

Actividad 3: La parábola generada por el centro de una circunferencia.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto P y observa.

¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento?
¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente?

Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P.