Plantilla:Radicales (ampliación)

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Tabla de contenidos

1 Extracción e introducción de factores en un radical
- 1.1 Extracción de factores
- 1.2 Introducción de factores
2 Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
3 Producto y cocientes de radicales de distinto índice
4 Racionalización de denominadores

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Introducción de factores

Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Actividad Interactiva: Introducción y extracción de factores de un radical

Actividad 1. Introduce y extráe factores de radicales.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando:

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Actividad Interactiva: Suma y resta de radicales

Actividad 1. Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Actividad 2. Operaciones combinadas.

Actividad:

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distintos índices, éstos deben tener el mismo radicando. En tal caso, los radicales los convertimos en potencias de la misma base y operamos con ellas, para obtener una única potencia, que posemos volver a poner en forma radical.

Ejemplo:

$3\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{5}=3\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{1}{4}}:5^{\frac{1}{2}}=3\cdot5^{(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2})}=3\cdot5^\frac{1}{12}=3\sqrt[12]{5}$

Racionalización de denominadores

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Para racionalizar uno radical de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Racionalizar $\frac{{6}}{\sqrt{2}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{2}$

$\frac{{6}}{\sqrt{2}}$ · $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}}$

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador:

$\frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}}$ = $\frac{{6\sqrt{2}}}{{2}}$

El resultado del ejercicio es éste, aunque se puede simplificar el número entero del numerador entre el del denominador, así:

$\frac{{6\sqrt{2}}}{{2}}$ = $3\sqrt{2}$

Caso 2: Denominador con otras raíces

En este caso, los exponentes del radicando del radical por el que se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción será la diferencia entre los exponentes actuales y el índice (o múltiplo del indice más cercano) del radical.

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$

Solución:

En este ejemplo, hay que multiplicar por $\sqrt[5] {a^2b}$ , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz.

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$ · $\frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}$

Ahora, se procede al despeje de las raíces, en el ejemplo de índice 5:

$\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}$

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Para este último caso, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

$\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ · $\frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$

Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:

$\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}}$ = ${-2\sqrt{2}-\sqrt{3}}$