Plantilla:Radicales (ampliación)

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Tabla de contenidos

1 Extracción e introducción de factores en un radical
- 1.1 Extracción de factores
- 1.2 Introducción de factores
2 Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
3 Producto y cocientes de radicales de distinto índice
4 Racionalización de denominadores

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: $\sqrt[3]{6000}$

Solución:

$\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}$

Introducción de factores

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: $10 \sqrt[3]{6}$

Solución:

$10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}$

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando:

Ejemplos:

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Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Reduce a un solo radical $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}$

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

$\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}$

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

$\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}$

Finalmente simplificamos:

$\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{22} \cdot 5^7}$

Racionalización de denominadores

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Para racionalizar uno radical de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Racionalizar $\frac{{6}}{\sqrt{2}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{2}$

$\frac{{6}}{\sqrt{2}}$ · $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}}$

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador:

$\frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}}$ = $\frac{{6\sqrt{2}}}{{2}}$

El resultado del ejercicio es éste, aunque se puede simplificar el número entero del numerador entre el del denominador, así:

$\frac{{6\sqrt{2}}}{{2}}$ = $3\sqrt{2}$

Caso 2: Denominador con otras raíces

En este caso, los exponentes del radicando del radical por el que se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción será la diferencia entre los exponentes actuales y el índice (o múltiplo del indice más cercano) del radical.

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$

Solución:

En este ejemplo, hay que multiplicar por $\sqrt[5] {a^2b}$ , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz.

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$ · $\frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}$

Ahora, se procede al despeje de las raíces, en el ejemplo de índice 5:

$\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}$

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Para este último caso, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

$\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ · $\frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$

Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:

$\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}}$ = ${-2\sqrt{2}-\sqrt{3}}$