Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
2 Razones trigonométricas inversas
3 Relaciones fundamentales de la trigonometría
4 Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

(Pág. 106)

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo $\alpha \,$ , de la siguiente manera:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

$sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:

$cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

$tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}$

Ejemplos

Click aquí si no se ve bien la escena

Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

$cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}$

La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

$sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}$

La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

$cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}$

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con brocha gorda) (12´47") Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Razones trigonométricas inversas.
Ejemplos.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con pincel) (9´25") Sinopsis:

Definición razonada de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, dibujar el ángulo) (8´19") Sinopsis:

Videotutorial

3 ejercicios (Hallamos razones trigonométricas con la calculadora) (9´42") Sinopsis:

Videotutorial

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, calcular el ángulo) (2´03") Sinopsis:

Videotutorial

Autoevaluación: Razones trigonométricas Descripción:

Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo.
Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas.
Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas.
Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.

Relaciones fundamentales de la trigonometría

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$

2. $tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}$

3. $1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Demostración:

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{a}{c} \right )^2 + \left ( \cfrac{b}{c} \right )^2 =\cfrac {a^2+b^2}{c^2}= \cfrac {c^2}{c^2}=1$

ya que, por el teorema de Pitágoras, $a^2+b^2=c^2\;$ .

2. $\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{a}{c}:\cfrac{b}{c}=\cfrac{a}{b}=tg \, \alpha$

3. $1+tg^2 \, \alpha =1+\cfrac{sen^2 \, \alpha }{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{cos^2 \, \alpha + sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

donde en el último paso hemos utilizado la primera relación fundamental: $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$

Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo (7´13") Sinopsis:

Videotutorial

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, hallar las otras) (9´45") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Conociendo $cos \, \alpha = 0.86$ , calcular $sen \, \alpha$ y $tg \, \alpha$ .

2. Conociendo $tg \, \alpha = 2.83$ , calcular $sen \, \alpha$ y $cos \, \alpha$ .

Solución:

Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida:

1. $sen \, \alpha = 0.51$ y $tg \, \alpha=0.59$

2. $sen \, \alpha = 0.93$ y $tg \, \alpha=0.33$

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:

Grados	sen	cos	tg	cosec	sec	cot
$30^o \,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$