Plantilla:La sucesión de Fibonacci y el número áureo

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La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

$F_n\;$ = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

$b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}$

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

$lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

Demostración:

Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

que expresada con decimales nos da:

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Demostración:

Por construcción de la sucesión de Fibonacci:

$F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;$

Dividiendo ambos miembros por $F_n \;$ :

$\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Tomando límites en ambos miembros:

$lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Llamando $L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}$ , tenemos:

$L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0$

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

$L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi$

con lo que queda demostrado.