Distancias en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

(Pág. 203)

Distancia ente dos puntos

La distancia entre dos puntos P(x_1,y_1)\, y Q(x_2,y_2)\, es igual al módulo del vector \overrightarrow{PQ}:

d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

ejercicio

Actividad Interactiva: Distancia entre dos puntos

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la distancia entre los puntos P(3,-1)\, y Q(-1,2)\,.
Actividad:
d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5


Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Calcula la distancia entre los puntos P(3,-5)\, y Q(1,4)\, y comprueba el resultado en la escena anterior.

Distancia de un punto a una recta

ejercicio

Proposición

La distancia del punto P(a,b)\, a la recta r: \, Ax+By+C=0 es:

d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Demostración:

Sea R(x_0,y_0)\, un punto de la recta.

Dados dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, sabemos que proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|}

Llamando \overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(A,B), \overrightarrow{v}=\overrightarrow{RP}=(a-x_0,b-y_0)

d(P,R)=|proy_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{RP}|=\cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{RP}|}{|\overrightarrow{n}|}=\cfrac{|(A,B) \cdot (a-x_0,b-y_0)|}{|(A,B)|}=
=\cfrac{|A(a-x_0)+B(b-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb-(Ax_0+By_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}


ya que Ax_0+By_0=-C\,, por ser R(x_0,y_0)\, un punto de la recta.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Distancias en el plano

Halla el área del triángulo de vértices A(0,0), B(6,5) y C(2,5).

Solución:

Tomando como base del triángulo el lado BC, tendremos que calcular d(B,C) y d(A, BC) para hallar las medidas de la base y de la altura.

Solución: Área=10 u2.

Distancia de un punto a una recta (7´43")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 1 (9´27")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 2 (7´33")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 3 (5´06")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 4 (6´56")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 5 (4´36")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 6 (3´29")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 7 (4´22")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 8 (6´59")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 9 (10´07")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 10 (6´27")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 11 (7´18")     Sinopsis:

Videotutorial

ejercicio

Actividad Interactiva: Distancia de un punto a una recta

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la distancia del punto P(-5,8)\, a la recta r: \, 2x-6y+7=0.
Actividad:
d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06


Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Calcula la distancia del punto P(2,-1)\, a la recta r: \, x-3y+5=0 y comprueba el resultado en la escena anterior.

Distancia entre dos rectas

Distancia entre dos rectas paralelas (6´45")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio (3´30")     Sinopsis:

Videotutorial

Bisectrices del ángulo entre dos rectas

Bisectrices del ángulo entre dos rectas (5´29")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio (7´50")     Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio (Incentro de un triángulo) (9´37")     Sinopsis:

Videotutorial

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Distancias_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"
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