Familias de funciones elementales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Funciones algebraicas y trascendentes
2 Funciones lineales
3 Funciones cuadráticas
4 Funciones raíz
5 Funciones de proporcionalidad inversa
6 Funciones exponenciales
- 6.1 Propiedades
7 Funciones logarítmicas
- 7.1 Propiedades

Funciones algebraicas y trascendentes

Las funciones algebraicas son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas.

Funciones algebraicas y trascendentes (8'51") Sinopsis:

La función "f" se dice "algebraica" si las operaciones que deben realizarse para determinar el número real "f(x)" son las llamadas algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación de exponente constante y radicación de ínidice constante. Si "f" no es algebraica, se dice "trascendente".

Funciones lineales

La función lineal Descripción:

Representación de la familia de funciones lineales.

Funciones cuadráticas

La función cuadrática Descripción:

Representación de la familia de funciones cuadráticas.

Funciones raíz

Funciones de proporcionalidad inversa

Funciones exponenciales

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Funciones exponenciales

Propiedades

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.

Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ .

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio: $D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes.
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .

La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .