Resolución de sistemas lineales y no lineales (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

(Pág. 131)

Procedimiento

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales podemos proceder de la siguiente forma:

Transformar las ecuaciones del sistema hasta que tengan la forma $ax+by=c\;$ . Para ello deberás quitar denominadores y paréntesis (si los hay), transponer términos y simplificar.
Elegir un método de resolución adecuado: el método de sustitución es cómodo si alguna incógnita tiene coeficiente 1 o -1; el de reducción es cómodo si alguna incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o sus coeficientes son uno múltiplo del otro; el de igualación es cómodo por su mecánica de despejar, igualar y multiplicar en cruz.
Podemos, opcionalmente, comprobar las soluciones. Para ello sustituiremos las incógnitas por los valores obtenidos en las dos ecuaciones del sistema de partida y los resultados deben coincidir.

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema:

$\left . \begin{matrix} \cfrac{x-1}{5}-\cfrac{x-y}{3}=\cfrac{2x+9y}{15}-5 \\~ \\ -5(x+y-8)+13=-3y-7 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Solución: $x=8\,; \ y=10$

Para resolver sistemas no lineales también podemos usar los métodos algebraicos de sustitución, igualación y reducción.

Ejercicios resueltos:

Resuelve los siguientes sistemas:

1. $\left . \begin{matrix} y-x=1 \\ x^2+y^2=5 \end{matrix} \right \}$

2. $\left . \begin{matrix} x^2+y^2=58 \\ x^2-y^2=40 \end{matrix} \right \}$

Solución:

Soluciones:

1. Tiene dos soluciones:

$x_1=1 \, ; \ y_1=2$

$x_2=-2 \, ; \ y_2=-1$

2. Tiene cuatro soluciones:

$x_1=7 \, ; \ y_1=3$

$x_2=7 \, ; \ y_2=-3$

$x_1=-7 \, ; \ y_1=3$

$x_2=-7 \, ; \ y_2=-3$

Ejercicios y problemas propuestos: Resolución de sistemas no lineales

(Pág. 132)

Procedimiento

Para resolver un problema mediante sistemas de ecuaciones hay que seguir los siguientes pasos:

Determinar las incógnitas.
Traducir el enunciado del problema al lenguaje algebraico mediante ecuaciones en las que intervengan las incógnitas.
Resolver el sistema, es decir, hallar el valor de las incógnitas.
Dar la solución del problema a partir de los valores obtenidos de las incógnitas.

Ejercicios resueltos

Dos estaciones A y B distan 255 km. Un tren sale de A hacia B a una velocidad constante de 60 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro tren a 110 km/h. Calcular el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante.
Un bodeguero ha mezclado dos garrafas de vino. La primera, de mejor calidad, a 3 €/l y la segunda, de claidad inferior, a 2.20 €/l. De esta forma ha obtenido 16 l de un vino de calidad intermedia que sale a 2.50 €/l. ¿Qué cantidad de vino había en cada garrafa?
Mariluz ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Jorge ha comprado otro abrigo 25 € más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%, con lo que sólo ha pagado 8 € más que Mariluz. ¿Cuál era el precio original de cada abrigo?
La diagonal de un rectángulo mide 26 m, y el perímetro, 68 m. Calcula la medida de sus lados.

Solución:

Solución 1:

x = distancia de A al punto de encuentro de los dos trenes.

255-x = distancia de B al punto de encuentro de los dos trenes.

Primer tren: $x = 60t\;$