Crecimiento de una función en un punto. Derivada (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Tasa de variación media
2 Crecimiento de una función en un punto. Derivada
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Obtención de la derivada de una función en un punto
- 3.1 Ejercicios propuestos

Tasa de variación media

Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo $[a, b]$ , se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.) o tasa de cambio, que se define como el cociente de la variación de $y$ entre la variación de $x$ :

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Si hacemos $b=a+h \quad (h \ne 0)$ , la expresión anterior queda como sigue:

$T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Ejemplo:

Sea $f(x)= 5x-x^2\;$ , su T.V.M. en el intervalo [1,2] es:

$T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2$

Proposición

La T.V.M. de una función en un intervalo $[a,b]\;$ es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas $a\;$ y $b\;$ .

Demostración:

Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m$

donde $m\,$ es la pendiente de la recta r.

Tasa de variación media

Tutorial 1 (10'03") Sinopsis:

Definición de tasa de variación media de una función.
Ejemplo a partir de la gráfica de la función.
Ejemplo a partir de la expresión analítica de la función.

Tutorial 2a (11'56") Sinopsis:

Definición de tasa de variación media o tasa de cambio de una función f en el intervalo [a,a+h].
Interpretación geométrica.
Ejemplos

Tutorial 2b: La palabra rapidez (18'54") Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Tutorial 2c: Tasa de variación media de una recta (6'50") Sinopsis:

Tasa de variación media de una recta

Tutorial 2d: Tasa de variación media de una parábola (7'57") Sinopsis:

Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.

Ejercicio 1 (2'53") Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de $f (x) = x 2 + 2;$ en [1,4].

Ejercicio 2 (12'50") Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de:

d (t) = 3 t + 1;

en [0,1] y [1,2].

d (t) = t 2 + 1;

en [0,3] y [2,3].

Ejercicio 3 (2'48") Sinopsis:

A partir de la gráfica, determina el intervalo en el cual la T.V.M. de la función es -4.

Ejercicio 4 (2'34") Sinopsis:

A partir de la tabla, determina la T.V.M. de la función en el intervalo [-5, -2].

Ejercicio 5 (7'27") Sinopsis:

Dada la función $y=\cfrac{1}{8}x^3-x^2\;$ , ¿sobre cuál de los siguientes intervalos tiene T.V.M. igual a 1/2: [-2, 2], [0, 4], [-3, 2], [-4, 1] ?

Ejercicio 9 (10´20") Sinopsis:

Cálcula la T.V.M. de $y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x$ en el intervalo [x, x+h].

Problema 1 (3'46") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una tabla.

Problema 2 (7'48") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una gráfica.

Problema 3 (4'57") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media.

Tasa de variación media

Actividad 1 Descripción:

Tasa de variación media.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.

Autoevaluación 1 Descripción:

Tasa de variación media.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales sobre la tasa de variación media.

Crecimiento de una función en un punto. Derivada

El crecimiento de una función $f\;$ en un intervalo $[a,b]\;$ se mide mediante la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(a,f(a))\;$ y $B(b,f(b))\;$ , es decir, mediante $T.V.M._f[a,b]\;$ .

El crecimiento de una función $f\;$ en un punto de abscisa $a\;$ se mide mediante la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. A dicho valor se le llama derivada de $f\;$ en el punto $a\;$ y se expresa $f'(a)\;$ .

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Crecimiento en un punto. Derivada

(pág. 303)

Obtención de la derivada de una función en un punto

Hemos dicho que la derivada de una función $f\;$ en un punto $a\;$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, y se representa $f'(a)\;$ . Podemos obtener dicho valor mediante el concepto de límite:

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función $f\;$ en un punto $a\;$ es igual a:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$