Ecuaciones de segundo grado

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Tabla de contenidos

1 Ecuación de segundo grado
2 Resolución de la ecuación de segundo grado
3 Discriminante de una ecuación de segundo grado
4 Ecuaciones de segundo grado incompletas
5 Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado
6 Ejercicios

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que se puede expresar de la forma:

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

que llamaremos forma general.

Ejemplo: Ecuación de segundo grado

Pasa a forma general la ecuación:

$3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!$

Solución:

Para ponerla en forma general, pasaremos todos los términos al miembro de la izquierda:

$3x-2x^2+5+4x^2-3+x=0\;\!$

Agrupando términos semejantes:

$2x^2+4x+2=0\;\!$

Resolución de la ecuación de segundo grado

Fórmula de la ecuación de segundo grado

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:

1. Se divide la ecuación por $a\;\!$ :

$x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

2. Se multiplica y divide por $2\;\!$ el coeficiente de la $x\;\!$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

3. Se suma alos dos miembros de la igualdad $\cfrac{b^2}{4a^2}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}$

4. Se pasa restando a la derecha $\cfrac{c}{a}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de $\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2$ :

$\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

$x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

7. Se despeja x:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

8. Se simplifica la expresión:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplo: Resolución de la ecuación de segundo grado

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.

Solución:

Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos:

Actividad Interactiva: Resolución de una ecuación de segundo grado

Actividad 1: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

Actividad:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".

Discriminante de una ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado a:

$\triangle = b^2-4ac$

por tanto:

Si $\triangle <0$ la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ la ecuación tiene una solución (doble).

Actividad Interactiva: Discriminante de una ecuación de segundo grado

Actividad 1: Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

Actividad:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0\;\!$ es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:

$b=0\;\!$ : $(ax^2+c=0\;\!)$

En este caso las soluciones se obtienen despejando x:

$ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}$

$c=0\;\!$ : $(ax^2+bx=0\;\!)$

En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:

$ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .$

Ejemplo: Ecuaciones de segundo grado incompletas

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.

Solución:

Pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos:

Caso 1: $b=0\;\!$ : $(ax^2+c=0\;\!)$

Caso 2: $c=0\;\!$ : $(ax^2+bx=0\;\!)$

Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

Actividades Interactivas: Planteamiento y resolución de sistemas

Actividad 1: Un campo de fútbol deberá ocupar una superficie rectangular de 7.500 m², siendo el largo 25 m mayor que el ancho. Halla las dimensiones del campo.

Actividad:

Ejercicios

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Ecuaciones de segundo grado incompletas

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