Correspondencia

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Correspondencia entre conjuntos

Una correspondencia ente dos conjuntos A y B es una ley o criterio que asocia elementos de A con elementos de B.

Si denotamos por $f\;$ a la correspondencia entre A y B, lo expresaremos:

$f: A \rightarrow B$

Al conjunto A se le denomina conjunto inicial y al B conjunto final de la correspondencia.
Sea $x \in A\;$ , al elemento de B que se corresponda con $x\;$ lo representaremos por $f(x)\;$ y se leerá "imagen de x según f ". (Notación introducida por Euler en 1734)
También se suele expresar como par ordenado $(x,y)\;$ , con $y=f(x)\;$ , a las parejas de elementos que estén en correspondencia mediante $f\;$ .
Al subconjunto de A formado por los elementos que tienen correspondencia con alguno de B, lo llamaremos conjunto origen, $Or(f)\;$ , de la correspondencia $f\;$ .
Al subconjunto de B formado por los elementos que se corresponden con alguno de A, lo llamaremos conjunto imagen, $Im(f)\;$ , de la correspondencia $f\;$ .

Correspondencia representada mediante un diagrama de Venn

Ejemplo:

Sean los conjuntos X={1, 2, 3, 4} y Y={a, b, c, d}, una correspondencia, $f\;$ , entre X e Y podría ser aquella que asocia los elementos de X con los de Y siguiendo el siguiente diagrama de Venn:

Fíjate que en el conjunto inicial, X, puede haber elementos, $\{1\}\;$ , que no tengan asignado ningún elemento del conjunto final, Y.

Igualmente, puede haber elementos de Y, $\{a\}\;$ , a los que no se les ha asignado ningún elemento de X.

En el conjunto inicial, X, puede haber elementos, $\{2\}\;$ , a los que les correspondan más de un elemento de Y: f(2)=b; f(2)=d

Igualmente, puede haber elementos de Y, $\{d\}\;$ , a los que les corresponde más de un elmento de X: f(2)=d; f(4)=d

$Or(f)=\{2, 3, 4\}\, ;\quad Im(f)=\{b, c, d\}\;$

Correspondencia entre conjuntos (15'36") Sinopsis:

Definición de correspondencia entre conjuntos.
Conjunto inicial y conjunto final. Ejemplos.

Tipos de correspondencias

Una correspondencia es unívoca si cada elemento inicial que tenga imagen solo tienen una imagen.

Una correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial que tenga imagen solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene ese origen.

Una aplicación o función es una correspondencia unívoca cuyo conjunto origen coincide con el conjunto inicial.

Correspondencia unívoca pero no biunívoca

Correspondencia biunívoca

Aplicación o función

Tipos de aplicaciones

Una aplicación es inyectiva si cada imagen se corresponde con un único origen.

Una aplicación es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto final.

Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultaneamente.

Aplicacion inyectiva

Aplicación sobreyectiva

Aplicación biyectiva

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