Funciones lineales: Función afín

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{{p}} {{p}}
==Función lineal afín== ==Función lineal afín==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''función lineal afín''' es aquella cuya expresión matemática viene dada por:+{{Función lineal afín}}
-<center><math>y=m \cdot x+n</math></center>+
-donde <math>x\;\!</math> e <math>y\;\!</math> son variables, <math>m\;\!</math> una constante que se denomina '''pendiente''' y <math>n\;\!</math> otra constante denominada '''ordenada en el origen'''. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en <math>n\;\!</math>.+
-}}{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplos: ''Función lineal afín''+
-|enunciado=+
-{{p}}+
-#Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados. 
-#Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros. 
-#¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados? 
-#Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian. 
-#¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica? 
-<center>[[Imagen:afin4.jpg|250px]]</center> 
-|sol= 
-{{tabla75 
-|celda1= 
-1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto.  
-Partimos de que el estanque se encuentra vacío inicialmente. 
-Completa la tabla: 
-{{p}} 
-<table border="1" width="100%"> 
- <tr> 
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Tiempo (min)</font></strong></p> 
- </td> 
- <td align="center" width="9%"><strong>0</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>1</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>4</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>6</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>t</strong></td> 
- </tr> 
- <tr> 
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Volumen (litros)</font></strong></p> 
- </td> 
- <td align="center" width="9%"><strong>0</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>5</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- </tr> 
-</table> 
-{{p}} 
-La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es: 
- 
-{{Caja|contenido=<math>V=5 \cdot t</math>}} 
-|celda2= 
-[[Imagen:afin1.jpg|250px]] 
-}} 
-{{tabla75 
-|celda1= 
-2. Supongamos ahora que el estanque tiene inicialmente un volumen de 20 litros. 
-Completa la tabla: 
-{{p}} 
-<table border="1" width="100%"> 
- <tr> 
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Tiempo (min)</font></strong></p> 
- </td> 
- <td align="center" width="9%"><strong>0</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>1</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>4</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>6</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>t</strong></td> 
- </tr> 
- <tr> 
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Volumen (litros)</font></strong></p> 
- </td> 
- <td align="center" width="9%"><strong>20</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>25</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- </tr> 
-</table> 
-{{p}} 
-La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es: 
- 
-{{Caja|contenido=<math>V=5 \cdot t+20</math>}} 
-|celda2= 
-[[Imagen:afin2.jpg|250px]] 
-}} 
-{{tabla75 
-|celda1= 
-3. Ahora supondremos que el estanque tiene inicialmente un volumen de 10 litros. 
-Completa la tabla: 
-{{p}} 
-<table border="1" width="100%"> 
- <tr> 
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Tiempo (min)</font></strong></p> 
- </td> 
- <td align="center" width="9%"><strong>0</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>1</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>4</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>6</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>t</strong></td> 
- </tr> 
- <tr> 
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">Volumen (litros)</font></strong></p> 
- </td> 
- <td align="center" width="9%"><strong>10</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>15</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- <td align="center" width="11%"><strong>{{b}}</strong></td> 
- </tr> 
-</table> 
-{{p}} 
-La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es: 
- 
-{{Caja|contenido=<math>V=5 \cdot t+10</math>}} 
-|celda2= 
-[[Imagen:afin3.jpg|250px]] 
-}} 
-4. Las graficas son rectas paralelas que cortan al eje de ordenadas a una altura que coincide con el volumen inicial del estanque. Por tanto, tienen en común que tienen la misma inclinación y se diferencian en el punto de corte con el eje de ordenadas. 
-{{p}} 
-{{tabla75 
-|celda1= 
-5. Para esta gráfica que corta al eje de ordenadas en 5, la fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es: 
- 
-{{Caja|contenido=<math>V=5 \cdot t+5</math>}} 
-|celda2= 
-[[Imagen:afin4.jpg|250px]] 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Función lineal afín''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=1. Función constante y otros ejemplos de funciones lineales afines. 
-|actividad={{p}} 
-* '''Función constante.''' 
- 
-En la siguiente escena aparece la función <math>y=3</math>, llamada '''función constante 3''', porque su valor no cambia; a cada valor de x le corresponde siempre el valor 3.  
- 
-Mueve el punto rojo y comprueba que el valor de la ordenada siempre es 3. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Aproximacion_a_la_funcion_afin_1.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
- 
-a) Varia ahora el valor de <math>k</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro". Obtienes la función <math>y=k</math> ¿Cuánto vale la pendiente de todas estas rectas?. 
- 
-* '''Otras funciones lineales afines.''' 
- 
-En la siguiente escena vamos a comparar la función <math>y=2x</math> y la <math>y=2x+3</math>.  
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Aproximacion_a_la_funcion_afin_2.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
- 
-b) ¿Que parecidos y diferencias encuentras entre las funciones <math>y=2x</math> e <math>y=2x+3</math>? 
- 
-c) Cambia el valor de <math>k</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" y explica como afecta el valor de <math>k</math> en el aspecto de la gráfica <math>y=2x+k</math>. 
-¿Cuánto vale la pendiente de todas estas rectas?. 
- 
-d) Pulsa el boton inicio para reestablecer los valores iniciales. Cambia el valor de <math>m</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" y explica como afecta el valor de <math>m</math> en el aspecto de la gráfica <math>y=mx+3</math>. 
-¿Cuánto vale la ordenada en el origen de todas estas rectas?. 
- 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=2. Cálculo de la pendiente y de la ordenada en el origen. 
-|actividad={{p}} 
-* '''Cálculo de la pendiente de una recta.''' 
- 
-En esta escena puedes ver un método para calcular la pendiente de una recta cualquiera. 
- 
-Mueve el punto rojo y comprueba que para cualquier punto que no esté sobre la recta el cociente entre los segmentos señalados (verde y azul) permanece constante y es igual a la pendiente. Así: 
-<center><math>m=\cfrac {variacion\ de\ y}{variacion\ de\ x}</math></center> 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin_1.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
- 
-a) Varia ahora el valor de <math>m</math> y de <math>k</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" para hallar la pendiente de las siguientes rectas: 
-a) <math>y=5 \cdot x-4</math> b) <math>y=-3 \cdot x+1</math> c) <math>y= \cfrac {1}{2} \cdot x -6</math> 
-Anota los resultados en tu cuaderno. 
- 
-* '''Cálculo de la ordenada en el origen de una recta.''' 
- 
-En esta escena puedes ver el segmento que representa la ordenada en el origen de una recta. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin_2.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
- 
-Cambia el valor de m y k. Observa el segmento amarillo que representa el valor de k y no depende, por tanto de m. 
- 
-El parámetro k se llama ordenada en el origen de la función afín porque indica el valor de la función cuando x vale cero. 
- 
-Comprueba que las rectas que pasan por el mismo punto del eje Y, tienen el mismo valor de k y se diferencian sólo en su pendiente. 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=3. Halla la ecuación de la recta a partir de su gráfica. 
-|actividad= 
-Se trata de determinar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta cualquiera, que son los elementos que se necesitan para escribir la ecuación. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin_3.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
- 
-a) Tienes que escribir los valores de m y k para determinar la ecuación de la recta azul. 
- 
-Ayúdate del zoom para poder ver los puntos por los que pasa la recta.  
- 
-Para dar valores a m y k puedes escribir números decimales o fracciones como 5/7 ó -1/2 y pulsar la tecla Intro. El pulsador azul de la ayuda la activa y el rojo la desactiva. Con la ayuda activada no se cuentan los aciertos. 
- 
-Si aciertas verás la expresión de la función con color azul, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo. Después de cada acierto pulsa el botón animar para que se salga una nueva recta.  
-}} 
-}} 
- 
-==Ejercicios== 
-{{ejercicio 
-|titulo=Ejercicio: ''Función afín'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''1. '''La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.  
-:a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura. 
-:b) Representa gráficamente la función. 
-:c) halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h. 
-{{p}} 
-|sol={{p}} 
-:a) <math>y=0,09x+10,44</math> (<math>y</math> en €; <math>x</math> en kw-h) 
-:b) Representación gráfica: 
-{{p}} 
-[[Imagen:facturaluz.png|center|250px]] 
-:c) 77,94 €. 
-}} 
-}} 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

Revisión de 09:48 15 ene 2009

Tabla de contenidos

Función lineal afín

Función lineal

Una función lineal es aquella cuya expresión analítica puede expresarse como:

y=mx+n\;
  • x\;\! es la variable independiente.
  • y\;\! es la variable dependiente.
  • m\;\! es una constante que se denomina pendiente.
  • n\;\! es otra constante denominada ordenada en el origen. (Si n \ne 0 recibe el nombre de función afín)

ejercicio

Representación gráfica


  • La gráfica de una función lineal es una recta que corta al eje de ordenadas en el punto (0,n)\;\!.
  • En consecuencia, para representarla, necesitamos dos puntos, uno de los cuales puede ser el (0,n)\;. El otro punto se obtendrá a partir de la ecuación.

ejercicio

Ejemplo: Función lineal


  1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados.
  2. Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.
  3. ¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?
  4. Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.
  5. ¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?

Función constante

Si m=0\,, las funciones que se obtienen son de la forma y=n\, y reciben el nombre de funciones constantes. Sus gráficas son rectas horizontales (paralelas al eje X).

Pendiente de una función lineal

Concepto de pendiente

En topografía, la pendiente es la relación que existe entre el desnivel, o distancia en vertical, que debemos superar y la distancia en horizontal que debemos recorrer:

Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal}


Se suele dar en tanto por ciento, para lo cual se multiplica la fracción anterior por 100:

% \, Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal} \cdot 100

Este concepto topográfico de pendiente tiene mucho que ver con el concepto de pendiente de una función lineal si consideramos la recta, su gráfica, como si fuese una rampa. No obstante, la pendiente de una función lineal puede tomar valores negativos, mientras que la pendiente topográfica siempre es positiva, como podrás comprobar en la siguiente actividad interactiva.

Cálculo de la pendiente

ejercicio

Proposición


Consideremos una función lineal y=mx+n\; y dos puntos A(x_1,y_1)\; y B(x_2,y_2)\; de la recta que la representa.

La pendiente se puede calcular de la siguiente manera:

m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}

La pendiente y el crecimiento

ejercicio

Propiedades


La pendiente, m\,, describe el crecimiento de la función y=mx+n\,:

  • Si m>0\,, la función es creciente.
  • Si m<0\, la función es decreciente.
  • Si m=0\, la función es constante (recta horizontal).

Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.

Obtención de la función lineal a partir de su gráfica

ejercicio

Procedimiento


Para determinar la ecuación de una función lineal a partir de su gráfica seguiremos uno de los dos procedimientos siguientes:

Procedimiento 1:

  1. Localizaremos en la gráfica el punto de corte con el eje Y, (0,n)\;, para averiguar el valor del parámetro n\;.
  2. Localizaremos otro punto de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
  3. Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}.
  4. Una vez averiguados m\; y n\;, los sustituiremos en la ecuación y=mx+n\;.

Procedimiento 2:

  1. Si no fuera posible determinar el punto de corte con el eje Y, (0,n)\;, localizaremos en la gráfica dos puntos de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
  2. Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}.
  3. Una vez averiguada m\;, sustituiremos las coordenadas de uno de los dos puntos en la ecuación y=mx+n\; y despejaremos n\;.



Ejercicios

Interpretación de funciones lineales

Comparación de funciones lineales

Modelado de funciones lineales

ejercicio

Ejercicio resuelto: Modelado de una función lineal


La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste fijo mensual de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.

a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura mensual.
b) Representa gráficamente la función.
c) Halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.

Análisis de funciones lineales

ejercicio

Ejercicio resuelto: Modelado de una función lineal


La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste fijo mensual de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.

a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura mensual.
b) Representa gráficamente la función.
c) Halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda