Divisibilidad

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Tabla de contenidos

Relación de divisibilidad

Dos números a y b están emparentados por la relación de divisibilidad cuando la división a:b es exacta.

Múliplos y divisores

Si a\; y b\; (a > b)\; están emparentados por la relación de divisibilidad (a : b\; es exacta), entonces decimos que:

  • a\; es multiplo b\; y lo expresaremos simbólicamente: a= \dot b.
  • b\; es divisor de a\; y lo expresaremos simbólicamente: b|a \;\!.

ejercicio

Proposición


Si a\;\! es multiplo de b\, , entonces existe un número natural k\;\! tal que a=b \cdot k.

Cálculo de los múltiplos de un número

ejercicio

Propiedades


  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural a\, tiene infinitos múltiplos, a \cdot k, que se obtienen multiplicándolo por un número natural k\, cualquiera.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • La suma de dos multiplos de a\, es otro múltiplo de a\,.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Cálculo de los múltiplos de un número


1. Calcula los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200.

Cálculo de los divisores de un número

ejercicio

Propiedades


  • Todo número natural tiene una cantidad finita de divisores.
  • Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.
  • Para encontar todos los divisores de un número, a\,, buscamos las divisiones exactas a:b=c\,. Entonces b\, y c\, son divisores de a\,. Para ello procederemos de la siguiente manera:
  1. Probaremos con b = 1, 2, 3, ... \,.
  2. Para cada valor de b\, que dé división exacta (a= b \cdot k), tendremos dos divisores: b\, y k\,.
  3. Pararemos de probar cuando el cociente de la división a:b\, sea menor o igual que b\,.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Cálculo de los divisores de un número


2. Calcula los divisores de 44.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Números compuestos y números primos

  • Un número primo es un número natural, mayor que 1, que sólo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
  • Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

ejercicio

Propiedad


Un número compuesto puede ponerse como producto de dos números distintos de él y la unidad.

Números primos menores que 100
Aumentar
Números primos menores que 100

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

Cómo averiguar si un número es primo

ejercicio

Procedimiento para ver si un número es primo


Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

ejercicio

Ejemplo: Averiguar si un número es primo


Averigua si el número 167 es primo.

Descomposición factorial de un número

Se le llama descomposición factorial o factorización de un número, a su expresión como producto de potencias de números primos.

ejercicio

Descomposición en factores primos


Cualquier número puede expresarse como producto de potencias de números primos.

Descomposición factorial de múltiplos y divisores

ejercicio

Propiedades


  • En la descomposición de los múltiplos de un número aparecen, al menos, todos los factores primos del número.
  • En la descomposición de los divisores de un número aparecen algunos (a veces, todos) los factores primos del número.

Obtención de los divisores de un número por el método de factorización (Avanzado)

ejercicio

Ejemplo: Obtener los divisores de un número


Obtén los divisores de 90.

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.

ejercicio

Cálculo del máximo común divisor


Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.

Propiedades

ejercicio

Propiedad


Si a es múltiplo de b, entonces m.c.d.(a,b)=b.

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí, si su m.c.d. es 1.

Actividades

ejercicio

Ejercicio resuelto: m.c.d.


En un almacén quieren envasar, para su distribución, 200 kg de manzanas y 260 kg de de naranjas, en cajones del mismo peso y de la mayor carga que sea posible. ¿Cuántos kilos deben poner en cada cajón?

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.

ejercicio

Cálculo del mínimo común múltiplo


Para obtener el m.c.m. de dos o más números, se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.

Propiedades

ejercicio

Propiedades


  • Si a es múltiplo de b, entonces m.c.m.(a,b)=a \;\!.

  • Si a y b son primos entre sí, entonces m.c.m.(a,b)=a \cdot b.

Actividades

ejercicio

Ejercicio resuelto: m.c.m.


Un distribuidor de electrodomésticos desea cargar dos palés, uno con lavavajillas de 45 kg y otro con frigoríficos de 40 kg, de forma que ambos pesen lo mismo y lo menos posible. ¿Cuánto pesará cada palé?

Problemas

ejercicio

Problemas: m.c.d y m.c.m.


1. Cierto planeta A tarda 150 días en completar una orbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿Cuánto tardarán en volver a estarlo?
2. Jaime hace una revisión rutinaria de su vehículo cada 15.000 km y hace otra revisión más a fondo cada 70.000 km ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos revisiones?
3. Una empresa vinícola de Montilla tiene que embasar 1.650 litros de vino dulce y 3.600 litros de vino fino, en toneles iguales de la mayor capacidad posible. ¿De qué capacidad serán los toneles?
4. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si queremos que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la anchura del azulejo?
5. En una peña hay entre 300 y 400 amigos. Para hacer una competición podemos formar grupos de 9, de 15 o de 21, sin que sobre o falte nadie. ¿Cuántos son en la peña?
6. Si agrupamos las cajas de una almacén de 2 en 2, de 3 en 3, o de 4 en 4, siempre sobra 1. Calcula cuántos cajas hay sabiendo que no hay más de 20.

Herramientas personales
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