Divisibilidad

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Tabla de contenidos


Relación de divisibilidad

Dos números enteros a\; y b\; están emparentados por la relación de divisibilidad cuando la división a:b\; es exacta.

Múltiplos y divisores

Si a\; y b\; (a > b)\; están emparentados por la relación de divisibilidad, es decir, a : b\; es exacta, entonces decimos que:

  • a\; es multiplo b\; y lo expresaremos simbólicamente: a= \dot b.
  • b\; es divisor de a\; y lo expresaremos simbólicamente: b|a \;\!.

ejercicio

Proposición


Si a\; es multiplo de b\;, entonces existe un número entero k\;\! tal que a=b \cdot k.



Propiedades

ejercicio

Propiedades de los múltiplos


  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural a\, tiene infinitos múltiplos, a \cdot k, que se obtienen multiplicándolo por un número natural k\, cualquiera.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • La suma de dos o más multiplos de a\, es otro múltiplo de a\,.
  • La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
  • Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
  • Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

ejercicio

Propiedades de los divisores


  • Todo número natural distinto de cero tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo.
  • Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él. Por tanto, el número de divisores es finito.
  • Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
  • Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste.
  • Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

Cálculo de los múltiplos y divisores de un número

Los siguiente videotutoriales condensan todo lo que se va a ver en este apartado.

Cálculo de los múltiplos de un número

La segunda de las propiedades de los múltiplos vista anteriormente me da una forma de calcular los múltiplos de un número natural.

ejercicio

Procedimiento


Para obtener los múltiplos de un número natural a\;, multiplicaremos a\; por cada uno de los números naturales:

\{ \dot a \}=\{a \cdot 1, \, a \cdot 2, \, a \cdot 3, \, \cdots \}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Cálculo de los múltiplos de un número


Calcula los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200.

Cálculo de los divisores de un número

ejercicio

Procedimiento


Para encontar todos los divisores de un número, a\,, buscamos las divisiones exactas a:b=c\,. Entonces b\, y c\, son divisores de a\,. Para ello procederemos de la siguiente manera:

  1. Probaremos con b = 1, 2, 3, ... \,.
  2. Para cada valor de b\, que dé división exacta (a= b \cdot k), tendremos dos divisores: b\, y k\,.
  3. Pararemos de probar cuando el cociente de la división a:b\, sea menor o igual que b\,.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Cálculo de los divisores de un número


Calcula los divisores de 44.

Actividades

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
7 La diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)



Números compuestos y números primos

  • Un número primo es un número natural, mayor que 1, que sólo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
  • Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

ejercicio

Propiedad


  • Un número compuesto puede ponerse como producto de dos números distintos de él y la unidad.
  • Este proceso se puede repetir, con cada uno de los factores, hasta que el número quede descompuesto en producto de factores primos. A esto se le llama descomponer un número en factores primos.

Números primos menores que 100
Aumentar
Números primos menores que 100

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n, que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

ejercicio

Procedimiento


Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera:

  • Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos.
  • Comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente.
  • El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número declarado como primo es mayor que n. Tras haber tachado sus múltiplos, los número que quedan sin tachar son todos los primos entre 2 y n.

Animación de la criba de Eratóstenes para números primos menores que 120. Se incluye la optimización de comenzar por los cuadrados de números primos.
Aumentar
Animación de la criba de Eratóstenes para números primos menores que 120. Se incluye la optimización de comenzar por los cuadrados de números primos.

Determinemos, mediante el siguiente ejemplo, el proceso para determinar la lista de los números primos menores de 20.

  1. Primer paso: listar los números naturales comprendidos entre 2 y 20.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2. Segundo paso: Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3. Tercer paso: Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.
Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5. Quinto paso: En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Se tachan sus múltiplos. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.
Como resultado se obtienen los números primos comprendidos entre 2 y 20, y estos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.



Cómo averiguar si un número es primo

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Procedimiento para ver si un número es primo


Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

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Ejemplo: Averiguar si un número es primo


Averigua si el número 167 es primo.

Descomposición factorial de un número

Se le llama descomposición factorial o factorización de un número, a su expresión como producto de potencias de números primos.

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Descomposición en factores primos


Cualquier número puede expresarse como producto de potencias de números primos.

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.

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Propiedades


  • Si a\; es múltiplo de b\;, entonces m.c.d.(a,b)=b\;.
  • Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del m.c.d.
  • Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número, entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.
  • Dados dos números naturales, a\; y b\;, se cumple:
m.c.m.(a,b) \cdot m.c.d (a,b)=a \cdot b

Cálculo del máximo común divisor

Ya sabemos encontrar todos los divisores de un número. Ahora nos interesa hallar un divisor en concreto. Queremos, de entre todos los divisores comunes a varios enteros, el mayor de ellos.

Y, ¿por qué el mayor?, ¿por qué un divisor común a varios números?, ¿para qué sirve esto?. Lo cierto es que el cálculo del máximo común divisor será muy útil para resolver problemas de divisibilidad en los que intervengan varios números. De ahí lo de común y lo de divisor. ¿Y por qué el mayor y no, por ejemplo, el menor? Piensa detenidamente... ¿Qué número es divisor de cualquier entero?. Efectivamente, el 1. ¿Crees que hay divisores menores que 1?

Una primera solución para encontrar el máximo común divisor de varios números podría ser calcular los divisores de cada uno de ellos y comprobar cuál es el mayor de los divisores comunes. A este método lo llamaremos "método artesanal".

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Procedimiento artesanal


Para calcular el máximo común divisor de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Averiguaremos todos los divisores de dichos números.
  2. De los divisores comunes (los que se repitan en todos) cogeremos el mayor.

Pero el método artesanal no es adecuado para números grandes pues requeriría muchos cálculos. Hay otro método basado en la factorización que es mucho más rápido. Lo llamaremos "método óptimo".

Sabemos que los divisores de un número son una combinación de algunos de sus factores primos. Por tanto, si queremos un divisor común a varios números, tendremos que tomar factores primos comunes a todos ellos. Si además queremos que sea el mayor de todos los divisores comunes, tendremos que tomar todos los factores que sean comunes.

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Procedimiento óptimo


Para obtener el m.c.d. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Se descomponen los números en factores primos.
  2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
  3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.



Algoritmo de Euclides

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Proposición


Sean a\; y b\;, (a \ge b)\;, dos números naturales, entonces se cumple que:

m.c.d.(a,b)=m.c.d.(b,r)\;

donde r\; es el resto de la división de a\; entre b\;.

Apoyándonos en el resultado anterior tenemos el siguiente algoritmo para el cáculo del m.c.d. de dos números.

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Algoritmo de Euclides


El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son:

Se divide el número mayor entre el menor.

  1. Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
  2. Si la división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.

Números primos entre sí

Dos o más números son primos entre sí o coprimos, si su m.c.d. es 1, es decir, no tienen divisores comunes salvo la unidad.

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Propiedades


  • Si a y b son primos entre sí, entonces m.c.m.(a,b)=a · b.
  • Si se dividen varios números por su m.c.d., los cocientes resultantes son primos entre sí.

Actividades

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Problema resuelto: m.c.d.


En un almacén quieren envasar, para su distribución, 200 kg de manzanas y 260 kg de de naranjas, en cajones del mismo peso y de la mayor carga que sea posible. ¿Cuántos kilos deben poner en cada cajón?

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números, distinto de cero.

ejercicio

Propiedad


  • Si a es múltiplo de b, entonces m.c.m.(a,b)=a \;\!.
  • Los múltiplos comunes de varios números son también múltiplos del m.c.m.
  • Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números.
  • Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número.

Cálculo del mínimo común múltiplo

Nos preguntamos a continuación por los múltiplos comunes de dos o más números? ¿Nos interesa encontrar el mayor o el menor? ¿Será útil?.

En el caso de los múltiplos, nos interesará encontrar el común más pequeño. No tiene sentido preguntarse por el mayor, pues hay infinitos múltiplos comunes a varios números. Una vez encontrado el más pequeño, se pueden conseguir tantos como quieras, sólo tienes que multiplicarlo por cualquier número natural.

Una posible estrategia sería buscar múltiplos de los números por separado hasta que lleguemos a encontrar el primero que sea igual para todos. A este procedimiento lo llamaremos 2método artesanal".

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Procedimiento artesanal


Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números obtendremos los múltiplos de dichos números y seleccionaremos el primero que se repita en todos ellos.

El método artesanal es lento y puede llegar a exigir escribir mucho. No es un buen método para números grandes. A continuación presentamos un método mejor, que llamaremos "método óptimo", y que se apoya en la factorización.

Sabemos que cada múltiplo de un número entero contiene a todos los factores primos de dicho número. Entonces, lo lógico sería coger todos los factores que aparezcan en las descomposiciones de los números con los que trabajemos. Lógicamente, si hay factores repetidos, los escogeremos una sola vez, ya que queremos que nuestro múltiplo común sea el menor de todos los que hay.

ejercicio

Procedimiento óptimo


Para obtener el m.c.m. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Se descomponen los números en factores primos.
  2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
  3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.m.

Actividades

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Problema resuelto: m.c.m.


Un distribuidor de electrodomésticos desea cargar dos palés, uno con lavavajillas de 45 kg y otro con frigoríficos de 40 kg, de forma que ambos pesen lo mismo y lo menos posible. ¿Cuánto pesará cada palé?

Ejercicios y problemas

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Problemas: m.c.d y m.c.m.


1. Cierto planeta A tarda 150 días en completar una orbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿Cuánto tardarán en volver a estarlo?
2. Jaime hace una revisión rutinaria de su vehículo cada 15.000 km y hace otra revisión más a fondo cada 70.000 km ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos revisiones?
3. Una empresa vinícola de Montilla tiene que embasar 1.650 litros de vino dulce y 3.600 litros de vino fino, en toneles iguales de la mayor capacidad posible. ¿De qué capacidad serán los toneles?
4. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si queremos que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la anchura del azulejo?
5. En una peña hay entre 300 y 400 amigos. Para hacer una competición podemos formar grupos de 9, de 15 o de 21, sin que sobre o falte nadie. ¿Cuántos son en la peña?
6. Si agrupamos las cajas de una almacén de 2 en 2, de 3 en 3, o de 4 en 4, siempre sobra 1. Calcula cuántos cajas hay sabiendo que no hay más de 20.

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