Divisibilidad

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Tabla de contenidos

Relación de divisibilidad

Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno cabe en el otro un número exacto de veces, es decir, cuando su cociente es exacto

Múltiplos y divisores de un número

Si la división a:b\; es exacta diremos que:

  • a\;\! es un múltiplo de b\;\!, y lo expresaremos simbólicamente: a= \dot b
  • b\;\! es un divisor de a\;\!, y lo expresaremos simbólicamente: b|a \;\!.

Dicho de otra forma:

a\;\! es multiplo de b\;\! ó b\;\! es divisor de a\;\!, si existe un número natural n\;\! tal que a=b \cdot n.

ejercicio

Actividad Interactiva: Múltiplos y divisores


1. Separa los divisores de un número de los que no lo son.
2. Calcula los divisores de un número.
3. Juego de los múltiplos y divisores.


Propiedades de los múltiplos

  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural a\, tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural k\, cualquiera: a \cdot k es múltiplo de a\,.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • La suma de dos multiplos de a\; es otro múltiplo de a\;:    m \cdot a + n \cdot a = (m+n) \cdot a

Propiedades de los divisores

  • Todo número natural tiene una cantidad finita de divisores.
  • Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.
  • Para encontar todos los divisoes de un número, a\,, buscamos las divisiones exactas a:b=c\,, es decir, tales que a=b \cdot c. Entonces b\, y c\, son divisores de a\,.

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Actividad: Divisores de un número


a) Halla los divisores de 70.
b) Halla 5 múltiplos de 6.
c) Halla 5 múltiplos comunes de 4 y 5.
d) ¿Es 5 divisible por 10?

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

ejercicio

Actividad Interactiva: Criterios de divisibilidad


1. Separa los múltiplos de un número de los que no lo son.

Números compuestos y números primos

Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.


Propiedad: Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.

Números primos menores que 100
Aumentar
Números primos menores que 100

ejercicio

Video: Números naturales. Números primos (17´)


Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

ejercicio

Actividad Interactiva: Criba de Eratóstenes


1. Practica el algoritmo de la criba de Eratóstenes.

Cómo averiguar si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

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Ejemplo: Averiguar si un número es primo


Averigua si el número 167 es primo.

ejercicio

Actividad Interactiva: Números primos y compuestos


1. Descubre si un número es primo o compuesto.

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Actividad: Números primos y compuestos


a) ¿Es 63 un número primo?
b) ¿Es 181 un número primo?

Descomposición factorial de un número

Cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

Para descomponer en factores primos un número:

  • Lo dividimos por el primer número primo que podamos.
  • El cociente que haya resultado lo colocamos bajo el número.
  • Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el mismo número primo.
  • Cuando no podamos hacer la división por ese número primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.
  • Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1.

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Ejemplo: Descompoción en factores primos


Halla la descomposición factorial de 90.

ejercicio

Actividad Interactiva: Descomposición factorial de un número


1. Descompón un número en factores primos.

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Actividad: Descomposición factorial de un número


a) Descompón en factores primos el número 156

Obtención de los divisores de un número

Para obtener los divisores de un número podemos proceder siguiendo uno de los dos métodos que ilustramos con el siguiente ejemplo:

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Ejemplo: Obtener los divisores de un número


Obtén los divisores de 90.

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Actividad Interactiva: Divisores de un número


1. Calcula los divisores de un número.


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Actividad: Divisores de un número


a) Halla los divisores de 156

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.

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Ejemplo: m.c.d.


Calcula el m.c.d.(24,60).

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Actividad Interactiva: m.c.d.


1. Calcula el m.c.d. de dos números.

Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces m.c.d.(a,b)=b.

Por ejemplo, m.c.d.(15, 30)=15.

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí, si su m.c.d. es 1.

Por ejemplo, 6 y 11 son primos entre sí.

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Actividad: Máximo común divisor


a) Halla el m.c.d.(30,150,700)

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.

ejercicio

Ejemplo: m.c.m.


Calcula el m.c.m.(24,60).

ejercicio

Actividad Interactiva: m.c.m.


1. Calcula el m.c.m. de dos o tres números.

Propiedades

  • Si a es múltiplo de b, entonces m.c.m.(a,b)=a \;\!.

  • Si a y b son primos entre sí, entonces m.c.m.(a,b)=a \cdot b.

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Actividad: Mínimo común múltiplo


a) Halla el m.c.m.(12, 56, 80)

Problemas

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Problemas: m.c.d y m.c.m.


1. Cierto planeta A tarda 150 días en completar una orbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿Cuánto tardarán en volver a estarlo?
2. Jaime hace una revisión rutinaria de su vehículo cada 15.000 km y hace otra revisión más a fondo cada 70.000 km ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos revisiones?
3. Una empresa vinícola de Montilla tiene que embasar 1.650 litros de vino dulce y 3.600 litros de vino fino, en toneles iguales de la mayor capacidad posible. ¿De qué capacidad serán los toneles?
4. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si queremos que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la anchura del azulejo?
5. En una peña hay entre 300 y 400 amigos. Para hacer una competición podemos formar grupos de 9, de 15 o de 21, sin que sobre o falte nadie. ¿Cuántos son en la peña?
6. Si agrupamos las cajas de una almacén de 2 en 2, de 3 en 3, o de 4 en 4, siempre sobra 1. Calcula cuántos cajas hay sabiendo que no hay más de 20.

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