Funciones: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Función real de variable real

Una función real de variable real, f\;, es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la variable independiente x\; un único valor de la variable dependiente y\;.

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \quad \ x& \rightarrow & \ y \end{matrix}

En tal caso decimos que y\; es función de x\; y lo representamos por y=f(x)\;.

Funciones reales de variable real (16'6")     Sinopsis:
  • Definición de función, variable independiente y variable dependiente. Ejemplos
Distintas notaciones de función (15'16")     Sinopsis:
Explicación de la notación y=f(x)\;. Ejemplos.
Funciones algebraicas y trascendentes (3'46")     Sinopsis:
  • Definición de función algebraica y de función trascendente. Ejemplos.

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Gráfica de una función

Gráfica de una función (15'16")     Sinopsis:
Necesidad de la representación gráfica de una función. Ejemplos.

ejercicio

Actividades Interactivas: Funciones

1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.
Actividad:
Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x\; (variable independiente) e y\; (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.

Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función.

Click aquí si no se ve bien la escena

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Operaciones con funciones

Operaciones con funciones (4'03")     Sinopsis:
  • Definición de las distintas operaciones que se pueden realizar con funciones. Ejemplos.

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Dominio e imagen de una función

  • Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente x\;, se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por D_f\; ó Dom_f\;
  • La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y\;. Lo representaremos por Im_f\; o R_f\;.

Dominio de definición de una función (8'51")     Sinopsis:
  • Dominio de definición de una función.
  • Interpretación gráfica del dominio.
  • Necesidad de saber el dominio de una función.
  • Ejemplos.

ejercicio

Actividad Interactiva: Dominio e imagen

1. Determina el dominio y la imagen de las siguientes funciones.
Actividad:
a) Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X,¿Cuál es su dominio y su imagen?

b) Observa esta otra escena y procedede como antes:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

c) Haz lo mismo con esta tercera escena:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

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Razones para restringir el dominio de una función

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos,...)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función.

ejercicio

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)
Solución:
a) Su dominio es [-1,1]\;\!, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de x\; da un valor de y\; válido.
b) Su dominio es \mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.
c) Su dominio es \mathbb{R^+}, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
d) Su dominio es (0, + \infty), porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

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Cálculo del dominio de una función

Reglas "Sagradas" del Cálculo (3'43")     Sinopsis:
  • Hay ciertas reglas en matemáticas que no se pueden violar. Aquí las vamos a recordar.
De las funciones y de las serpientes (9'01")     Sinopsis:
  • Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.
Ejemplos de "serpientes" peligrosas... o no (14'53")     Sinopsis:
  • 6 ejemplos de algunas funciones "peligrosas" y de otras que no presentan ningún problema a la hora de, por ejemplo, calcular su dominio.

ejercicio

Ejemplos: Dominio de definición de una función

1. Ejemplos (9'14")     Sinopsis:
15 ejemplos.
2. Ejemplos (11'08")     Sinopsis:
15 ejemplos.
3. Ejemplos (9'24")     Sinopsis:
10 ejemplos.
4. Ejemplos (11'24")     Sinopsis:
11 ejemplos.
5. Ejemplos (13'01")     Sinopsis:
7 ejemplos.
6. Ejemplos (10'41")     Sinopsis:
8 ejemplos.
7. Ejemplos (8'07")     Sinopsis:
4 ejemplos.
8. Ejemplos (14'26")     Sinopsis:
6 ejemplos.
9. Ejemplos (9'33")     Sinopsis:
7 ejemplos.
10. Ejemplos (10'03")     Sinopsis:
7 ejemplos.
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