Los elementos

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Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.
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Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

Los Elementos es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides c. Siglo III a.C. en Alejandría.

Los Elementos es considerado uno de los libros de texto más exitosos en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante varios siglos, cuando el quadrivium era incluido en el currículum de todos los estudiantes universitarios, se exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica a la geometría.

En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.

Principios fundamentales

En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones, como punto, línea y superficie, 5 postulados y 5 nociones comunes (axiomas). Entre estas proposiciones se encuentra una demostración del teorema de Pitágoras.

Las nociones comunes de Los Elementos son:

  1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
  2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
  3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
  4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte.

Los postulados de Los Elementos son:

  1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.
  2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

  • Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides por la geometría constructiva, al igual que los matemáticos griegos y helenísticos contemporáneos.

Contenido

Un fragmento de los Elementos de Euclides hallado en Oxirrinco, datado hacia el año 100 a. C. El diagrama acompaña la Proposición 5 del Libro II.
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Un fragmento de los Elementos de Euclides hallado en Oxirrinco, datado hacia el año 100 a. C.
El diagrama acompaña la Proposición 5 del Libro II.

A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometría, el libro incluye resultados que hoy se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides decide describir los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación constructiva a la aritmética.

El contenido de los libros es el siguiente:

  • Libros 1 al 4 tratan sobre geometría plana.
  • Libros 5 al 10 tratan sobre razones y proporciones.
  • Libros 11 al 13 tratan sobre geometría de sólidos.
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