Método de Gauss para sistemas lineales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Sistema escalonado

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x m (n ecuaciones y m incógnitas) en el que cada ecuación tiene sus términos ordenados por incógnitas y las ecuaciones organizadas por filas. Este sistema se dice que es escalonado si la ecuación de la fila n carece, al menos, de las n - 1 primeras incógnitas. Si además tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (n = m), el sistema se dice que es escalonado triangular.

El interés de los sistemas escalonados radica en que son mucho más fáciles de resolver.

Método reducción de Gauss

El método de Gauss, que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales n x m que generaliza al método de reducción usado para sistemas 2 x 2. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, por tanto, más fácil de resolver.

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Criterios de equivalencia de sistemas


Los criterios de equivalencia de sistemas nos dicen las "operaciones" que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente. Son los siguientes:

  • Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
  • Sumar o restar a los dos miembros de una ecuación la misma expresión.
  • Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número. (Como caso particular: Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación)
  • Cambiar el orden de las ecuaciones.
  • Cambiar el orden de las incógnitas del sistema.
  • Eliminar ecuaciones nulas (0=0).
  • Eliminar una ecuación que sea idéntica o proporcional a otra.

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Ejemplo: Método de reducción de Gauss


Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

\left\{ \begin{matrix}     x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3     \\     x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1     \\     x \, - \, y \, - \, z & = & -1   \end{matrix} \right.

Discusión de sistemas

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única.

  • Si el sistema no tiene solución, diremos que es un sistema incompatible (S.I.)
  • Si el sistema tiene solución, diremos que es un sistema compatible (S.C.)
    • Si la solución es única, diremos que es un sistema compatible determinado (S.C.D.)
    • Si la solución no es única, diremos que es un sistema compatible indeterminado (S.C.I.)

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Discusión de sistemas lineales


Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x m, que tras realizar las transformaciones oportunas está escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado las filas nulas, si las hubiera, que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con m incógnitas, con k \le m. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

  • Sistema incompatible (S.I.): Si alguna de las ecuaciones que quedan son del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.


  • Sistema compatible determinado (S.C.D.): Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b (con b distinto de cero), y además k = m, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.


  • Sistema compatible indeterminado (S.C.I.): Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k < m, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas o "variables principales" de las no principales (también llamadas "variables libres"). Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Las podemos elegir como queramos aunque podemos dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k últimas incógnitas serán las "principales" y las m - k primeras serán las "libres", que pasaremos al segundo miembro como parámetros. No obstante, este criterio puede variarse según convenga.

Método de Gauss con matrices

El método de Gauss se puede abreviar utilizando matrices. Estas agilizan el proceso de escalonamiento, ya que, en cada transformación de las ecuaciones del sistema, éstas no se escriben completas, sino sólo los coeficientes de las mismas.

Método de Gauss-Jordan

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Método de Gauss-Jordan


Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x n. En el método de Gauss realizabamos una triangulación superior del sistema de ecuaciones lineales, haciendo ceros por debajo de la diagonal. Si continuamos el método de Gauss haciendo ceros en la parte superior de la diagonal, conseguiremos un sistema equivalente cuyas ecuaciones tienen una sola incógnita (la de la diagonal). A este método se le conoce como método de Gauss-Jordan, pues debe su nombre a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan.

Discusión de sistemas lineales con parámetros

Discutir un sistema de ecuaciones lineales con parámetros consiste en determinar el valor de los parámetros que hacen que el sistema sea S.C.D., S.I. o S.C.I.

Ejercicios propuestos

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Ejercicios propuestos: Método de Gauss


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