Números enteros: Definición

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Tabla de contenidos

Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Son infinitos. Sirven para contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...) , para ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...) y para identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Nota: Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el "cero" puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos; dependiendo del área de las matemáticas, el conjunto de los números naturales puede incluir o no al "cero".

Representación de los números naturales

Podemos representarlos en una recta:


Para más información: Números naturales

Números negativos y positivos

  • Los números negativos son los números menores que cero. Para representarlos se les pone un signo menos (-) delante:

-1, -2, -3,...\;


  • Los números positivos, son los mayores que cero. Pueden ir precedidos de un signo más (+), pero es habitual no ponerlo:

+1 = 1, \ +2 = 2, \ +3 = 3, \ ... \;

Reglas:

  • Los números negativos se escriben precedidos del signo menos (-).
  • Si un número no lleva signo entenderemos que es positivo.
  • En las operaciones, los números negativos se escriben entre paréntesis cuando queremos evitar que aparezcan dos símbolos de operación seguidos.

Utilidad de los números negativos y positivos

Los números positivos nos sirven para expresar muchas situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo, no siempre nos sirven para representar situaciones contrarias que requieren del uso de números negativos, como un saldo deudor en una cuenta bancaria, una temperatura bajo cero, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Los números negativos y positivos, además de servir para representar cantidades fijas, también se pueden utilizar para expresar variaciones que sufre una magnitud.

ejercicio

Ejemplo:


Expresa numéricamente cada enunciado:

a) Juan ha bajado de la planta 3ª a la 1ª.
b) La temperatura ha bajado 3ºC.
c) Juani ha sacado 3500 € de su cuenta corriente.
d) El ascensor subió tres pisos.
e) Me han tocado 200 € en la lotería.
f) He perdido una cartera con 47 €.
g) Jesús ha engordado 2 kg.

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Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

\mathbb{Z}=\left \lbrace \cdots, -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Está formado por:

  • El conjunto de los números naturales (enteros positivos : \mathbb{Z}^+)
  • Sus opuestos (enteros negativos: \mathbb{Z}^-)
  • El cero.

Son infinitos y, al igual que los números naturales sirven para contar. Sin embargo, los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Representación de los números enteros

Podemos representarlos en una recta. Sobre ella marcamos el número cero; a su derecha, y a distancias iguales, se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...; a la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: −1, −2, −3, ...

Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe |a|\;\! y se define del siguiente modo:

|a|= \begin{cases} \ \ a & \mbox{si } a \ge 0 \\ -a & \mbox{si }a<0 \end{cases}

ejercicio

Propiedades


El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica. En consecuencia:

  • El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
  • El valor absoluto de cero es cero.

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero, a\;\!, es otro número entero, -a\;\!, que tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario.

ejercicio

Propiedad


El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero en la recta numérica. Por tanto, está a la misma distancia del cero pero del lado contrario.

Orden en el conjunto de los enteros

En la representación de los enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en el conjunto de los números enteros:

ejercicio

Propiedades


  • Todo número negativo es menor que cero y todo número positivo es mayor que cero.
  • Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
  • Si dos enteros son negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
  • Si a > b, entonces -b > -a

Actividades

Herramientas personales
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