Números primos y compuestos (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Números compuestos y números primos
- 1.1 Criba de Eratóstenes
- 1.2 Cómo averiguar si un número es primo
2 Descomposición factorial de un número
- 2.1 Obtención de los divisores de un número
3 Ejercicios

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Números compuestos y números primos

Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.

Ejemplos

15 es compuesto porque $15=3 \cdot 5$ .
Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos.

Propiedad: Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.

Números primos menores que 100

Video: Números naturales. Números primos (17´)

Sinopsis:

Los números que nos sirven para contar, los números naturales, uno de los más viejos inventos de la Humanidad. ¿Cómo serían nuestras vidas sin la existencia de estos

números?... Desde los pitagóricos, que los consideraron como el principio y la explicación de todo el Universo, hasta nuestros días estos números han ejercido un poderoso influjo sobre los matemáticos de todas las épocas. Uno de los campos que ha tenido en jaque a los grandes matemáticos es el de los números primos; una auténtica caja de sorpresas. Aún hoy, utilizando potentes ordenadores, no se han podido demostrar algunas de las conjeturas formuladas sobre estos números hace más de doscientos años. Veremos algunas de ellas y descubriremos una de las aplicaciones más extrañas de los números primos en la actualidad, su utilización en criptografía.

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Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

Actividad Interactiva: Criba de Eratóstenes

1. Practica el algoritmo de la criba de Eratóstenes.

Actividad:

La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para obtener los primeros números primos.

Se comienza con un panel en el que están colocados los números naturales a partir del número 2. Normalmente se hace con los cien primeros números naturales, aquí emplearemos solamente hasta el número 46.
Comenzamos por el número 2, lo dejamos, pero a partir de él contamos de 2 en 2 y eliminamos los números que sean múltiplos de 2.
El primer número de los que quedan es el 3, lo dejamos y desde el número 3 eliminamos los números que sean múltiplos de 3.
El siguiente número de los que quedan es el 5, lo dejamos y desde el número 5 eliminamos los números que sean múltiplos de 5.
Así vamos avanzando, cuando llegamos a un número que no ha sido eliminado lo dejamos, pero a partir de él eliminamos los números que sean múltiplos de él. Así hasta el final.
Finalmente habrán quedado solamente números primos.

Click aquí si no se ve bien la escena

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Cómo averiguar si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

Ejemplo: Averiguar si un número es primo

Averigua si el número 167 es primo.

Solución:

Efectuamos las siguientes divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que sea divisible o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir:

Dividimos 167 entre 2: cociente=83 y resto=1. No es divisible por 2.

Dividimos 167 entre 3 porque 83>3: cociente=55 y resto=2. No es divisible por 3.

Dividimos 167 entre 5 porque 55>5: cociente=33 y resto=2. No es divisible por 5.

Dividimos 167 entre 7 porque 33>7: cociente=23 y resto=6. No es divisible por 7.

Dividimos 167 entre 11 porque 23>11: cociente=15 y resto=2. No es divisible por 11.

Dividimos 167 entre 13 porque 15>13: cociente=12 y resto=11. No es divisible por 13.

Paramos y no dividimos 167 entre 17 porque 12<17.

Por tanto, 167 es primo.

Actividad Interactiva: Números primos y compuestos

1. Descubre si un número es primo o compuesto.

Actividad:

Marca el número que quieras en la ventana del control inferior y pulsa intro, después puedes ir variando el valor del número de uno en uno utilizando los triángulos arriba y abajo.

El ordenador te indicará si ese número es primo o compuesto. En caso de ser compuesto te indicará además por qué número se le puede dividir después del 1. El número más grande que puedes marcar es el 10.000.000.000

Click aquí si no se ve bien la escena

Investiga y contesta en tu cuaderno:

a) Desde el número 2, utilizando el triángulo arriba, aumenta de uno en uno y cuenta los números primos que hay en la primera centena desde el 2 hasta el 101.

b) Marca después un número de 9 cifras, comienza con uno que termine en 00, aumenta de uno en uno y haz el recuento de los números primos que encuentres en esa centena.

c) ¿Qué deduce?

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Descomposición factorial de un número

Cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

Para descomponer en factores primos un número:

Lo dividimos por el primer número primo que podamos.
El cociente que haya resultado lo colocamos bajo el número.
Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el mismo número primo.
Cuando no podamos hacer la división por ese número primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.
Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1.

Ejemplo: Descompoción en factores primos

Halla la descomposición factorial de 90.

Solución:

Dividimos 90 entre el primer número primo por el que sea divisible. En este caso, por 2.

90:2=45

A continuación, procedemos a dividir 45, cociente de la anterior división, de igual forma.

45:3=15

Así sucesivamente hasta obtener 1 en el cociente

15:3=5

5:5=1

Los cocientes 2, 3, 3 y 5 son los factores que descomponen a 90.

$\left . \begin{matrix} 90 \\ 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right |\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \\ \; \end{matrix} \qquad 90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Actividad Interactiva: Descomposición factorial de un número

1. Descompón un número en factores primos.

Actividad:

Esta escena realiza la descomposición factorial de un número, para ello marca el número natural que quieras en la ventana del control que está bajo la escena y pulsa intro. El número más grande que puedes marcar es de cinco cifras.

A la derecha puedes ver los factores que intervienen y abajo la expresión del producto de potencias. Si el exponente es 1 no se pone exponente.

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Realiza en tu cuaderno y comprueba en la escena anterior la descomposición en factores de los números:

a) 700 b) 1024 c) 658

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Obtención de los divisores de un número

Para obtener los divisores de un número podemos proceder siguiendo uno de los dos métodos que ilustramos con el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Obtener los divisores de un número

Obtén los divisores de 90.

Solución:

Método 1: Descomponemos 90 en factores primos:

$90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Construimos una tabla para formar las posibles combinaciones de productos de factores.

Cada casilla de la tabla contiene un divisor: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15, 45, 10, 30 y 90.

Método 2: Dividimos 90 por su primer divisor:

90:1=90. Ya tenemos dos divisores: 1 y 90.

Dividimos 90 por el siguiente divisor:

90:2=45. Ya tenemos otros dos: 2 y 45.

Proseguimos de igual forma:

90:3=30. Obtenemos 3 y 30.

90:5=18. Obtenemos 5 y 18.

90:6=15. Obtenemos 6 y 15.

90:9=10. Obtenemos 9 y 10.

Paramos porque el siguiente divisor es 10, que ya se ha obtenido.

Actividad Interactiva: Divisores de un número

1. Calcula los divisores de un número.

Actividad:

Marca el número que quieras en la ventana del control que está bajo la escena y pulsa intro, así aparecerán todos los divisores que tiene ese número.

También puedes ir variando el valor del número utilizando los triángulos arriba y abajo. El número más grande que puedes marcar es el 10.000

Click aquí si no se ve bien la escena

Investiga y contesta en tu cuaderno:

Toma nota de la cantidad de divisores de cada uno de los números del 0 al 50

a) ¿Cuál es el número natural que tiene mayor cantidad de divisores? ¿Cuántos divisores tiene?

b) ¿Cuál es el número natural que tiene menor cantidad de divisores? ¿Cuántos divisores tiene?

c) ¿Cuántos divisores tiene un número primo?

Marca un número de 4 cifras, pulsa intro, con el triángulo arriba vete aumentando de uno en uno el valor del número. Observa la disparidad de número de divisores que tiene cada número. Anota lo que observes.

d) ¿Crees que un número grande es de esperar necesariamente que tenga más divisores?

e) ¿De qué crees que depende?

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