Operaciones con números enteros (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Potencias de números naturales
- 1.1 Propiedades de las potencias de naturales
2 Potencias de números enteros
3 Raíz de un número
- 3.1 Propiedades de las raíces

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Potencias de números naturales

Una potencia de base $a\;\!$ y exponente $n\;\!$ consiste en multiplicar $n\;\!$ veces la base $a\;\!$ .

$a^n =a \cdot a \cdots a\;\!$

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.

En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:

La base es el número que se multiplica por sí mismo
El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño.

Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Potencia de un número natural.

Actividad:

Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.

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Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:

a) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 0 sea cual sea el exponente?

b) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1 sea cual sea el exponente?

c) ¿Qué valor tienen las potencias de cualquier base cuando su exponente es el número 0 ?

d) ¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1 ?

Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base

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Propiedades de las potencias de naturales

$a^0=1\,\!$ $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$ $\cfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\,\!$

$(a^n \cdot b^n)=(a \cdot b)^n$ $\cfrac{a^n}{b^n}=\left ( \frac{a}{b} \right )^n\,\!$ $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Actividad Interactiva: Propiedades de las potencias

Actividad 1. Propiedades de las potencias de números naturales.

Actividad:

En las siguientes escenas, para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

Producto de potencias de la misma base:

El producto de varias potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

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Cociente de potencias de la misma base:

El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la resta de los exponentes.

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Potencia de exponente 0:

Sigue actuando sobre la escena anterior, haz que los dos exponentes sean iguales, ello dará como resultado una potencia de exponente 0. Observa el valor de esa potencia.

Habrás descubierto que: Una potencia de exponente 0 vale 1.

Potencia de una potencia:

La potencia de una potencia equivale a una potencia simple cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

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Potencia de un producto:

La potencia de un producto equivale al producto de potencias cuyas bases son cada uno de los factores y cuyo exponente es el mismo.

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Actividad 2. Autoevaluación.

Actividad:

En las siguientes escenas rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final.

Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.

Elementos de una potencia:

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Operaciones con potencias de la misma base:

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Asocia los resultados de estas potencias:

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Actividad 3. El Googol.

Actividad:

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Actividad 4. Elevando a a potencias.

Actividad:

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Actividad 5. Une con flechas las respuestas correctas.

Actividad:

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Potencias de números enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Potencia de base negativa:
Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Ejemplos

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Actividad Interactiva: Potencias de números enteros

Actividad 1. Potencias de base negativa.

Actividad:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $(-3)^4\,$ b) $(-4)^5\,$ c) $(-10)^5\,$ d) $(-2)^{10}\,$

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Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

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Raíz de un número

Sabemos que $3^2 = 9\;\!$ . Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como $\sqrt{9}=3$ y se lee 3 es igual a la raíz cuadrada de 9.

En general:

Se define la raíz cuadrada de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^2 =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt{a}$ .
Se define la raíz cúbica de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^3 =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt[3]{a}$ .
Igualmente, se define raíz n-sima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^n =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt[n]{a}$ .
El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ es la raíz.

Ejemplos

Pulsa el botón "ejemplo" para ver más ejemplos de raíces cuadradas y cúbicas. Anótalos en tu cuaderno:

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Propiedades de las raíces

$\sqrt[n]{1}=1$ y $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .
Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .
Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.
Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .
$\sqrt[5]{0}=0$ .
$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .
$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .
$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .
$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).