Plantilla:Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Así, dado el segmento $\overline{AB}$ , su mediatriz está formada por los puntos $P\,$ del siguiente conjunto:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Mediatriz de un segmento Descripción:

En esta escena podrás ver como construye la mediatriz de un segmento.

Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.

Propiedad

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Demostración:

Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo $A=(x_a,y_a)\;$ y $B=(x_b,y_b)\;$ tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$d(P,A)=d(P,B) \;$

$\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

$2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0$

Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento AB es la ecuación de una recta.

Faltaría ver que es perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.