Relación de divisibilidad (2º ESO)

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Tabla de contenidos

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Múltiplos y divisores

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Relación de divisibilidad

Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno cabe en el otro un número exacto de veces, es decir, cuando su cociente es exacto

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Múltiplos y divisores de un número

Si la división a:b\; es exacta diremos que:

  • a\;\! es un múltiplo de b\;\!, y lo expresaremos simbólicamente: a= \dot b
  • b\;\! es un divisor de a\;\!, y lo expresaremos simbólicamente: b|a \;\!.

Dicho de otra forma:

a\;\! es multiplo de b\;\! ó b\;\! es divisor de a\;\!, si existe un número natural n\;\! tal que a=b \cdot n.

ejercicio
Ejemplo
  • 12 es múltiplo de 4 (12= \dot 4) porque 12=4 \cdot 3. Por tanto, 4 es divisor de 12 (4|12 \;\!). La división 12:4\; es exacta.

ejercicio

Actividad Interactiva: Múltiplos y divisores

Actividad 1. Separa los divisores de un número de los que no lo son.
Actividad:
Busca los números de abajo que sean divisores del número de arriba y colócalos en el rectángulo de la izquierda.

En el rectángulo de la derecha coloca los números que no sean sus divisores.

Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2. Juego de los múltiplos y divisores.
Actividad:
Normas del juego:
  • Es un juego de competición entre dos jugadores.
  • Cada jugador retira por turno un número sacándolo de la escena.
  • Los números retirados ya no se reponen.
  • El número que se retira debe ser múltiplo o divisor del retirado anteriormente y que figura en el recuadro.
  • Pierde el jugador que retire un número indebido o el que ya no pueda retirar un número.
  • Para no dar ventaja al primer jugador, se exige que el primer número retirado sea par.
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Propiedades de los múltiplos

  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural a\, tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural k\, cualquiera: a \cdot k es múltiplo de a\,.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • La suma de dos multiplos de a\; es otro múltiplo de a\;:    m \cdot a + n \cdot a = (m+n) \cdot a
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Propiedades de los divisores

  • Todo número natural tiene una cantidad finita de divisores.
  • Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.
  • Para encontar todos los divisoes de un número, a\,, buscamos las divisiones exactas a:b=c\,, es decir, tales que a=b \cdot c. Entonces b\, y c\, son divisores de a\,.

ejercicio

Actividad Interactiva: Divisores

Actividad 1. Calcula los divisores de un número.
Actividad:
Cada número natural tiene una cantidad concreta de divisores, solamente el número 0 tiene infinitos divisores.

Busca los divisores del número que aparezca y márcalos de uno en uno en la ventana del control inferior. Cada vez que marques un divisor debes pulsar intro. Cuando hayas marcado todos sus divisores sin errores aparecerá el mensaje ENHORABUENA.

Cada vez que pulses sobre inicio aparecerá aleatoriamente otro número de dos cifras.

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Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

ejercicio

Actividad Interactiva: Criterios de divisibilidad

1. Separa los múltiplos de un número de los que no lo son.
Actividad:
Busca los números de abajo que sean múltiplos del número de arriba y colócalos en el rectángulo de la izquierda.

En el rectángulo de la derecha coloca los números que no sean sus múltiplos.

Para ello puedes hacer la división mentalmente o valerte de los criterios de divisibilidad.

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