Semejanza de triángulos

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Triángulos semejantes

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

  • Dos triángulos, ABC\; y A'B'C'\;, son semejantes, y lo notaremos ABC \sim A'B'C'\;, si cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos* son iguales:
\widehat{A}=\widehat{A}'\, ,\ \widehat{B}=\widehat{B}'\, ,\ \widehat{C}=\widehat{C}'
2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:
\cfrac{c'}{c} = \cfrac {b'}{b} = \cfrac{a'}{a}=r

  • Al valor r\;\! se le llama razón de semejanza.


(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Criterios de semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos simplifican el número de condiciones que deben comprobarse para que dos triángulos sean semejantes:

ejercicio

Criterios de semejanza de triángulos


  1. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}
  2. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: \widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'
  3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: \frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'

Aplicaciones de los criterios de semejanza

Los criterios de semejanza que hemos visto tienen numerosas aplicaciones. Veamos algunas de ellas.

Relación entre las áreas de figuras semejantes

Teorema de Tales

ejercicio

Primer teorema de Tales


Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:

 

\frac {\overline{OA}} {\overline{OB}} = \frac {\overline{AA'}} {\overline{BB'}} = \frac {\overline{OA'}} {\overline{OB'}}

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales

ejercicio

Corolario


Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Triángulos en la posición de Thales
Aumentar
Triángulos en la posición de Thales
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