Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Vectores
2 Operaciones con vectores

(Pág. 172)

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Vectores

Los siguientes vídeos sirven de introducción a los conceptos que vamos a ver a lo largo de esta página.

Introducción al concepto de vector (6´11") Sinopsis:

Vídeo que nos introduce el concepto de vector con un ejemplo gráfico que representa el desplazamiento de una persona a lo largo de un plano.

Vector fijo y vector libre (9´53") Sinopsis:

Conceptos de vector fijo y vector libre del plano. Nota: En el vídeo se habla de las coordenadas del vector que une dos puntos que se estudiarán en otro tema.

Módulo y dirección de un vector (5´12") Sinopsis:

Cálculo del módulo de un vector. Nota: La obtención de la fórmula del módulo de un vector se estudiará en otro tema.

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Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos $\overrightarrow{AB}$ .

Características de un vector:

El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es la longitud del segmento $\overline{AB}$ , se representa por $|\overrightarrow{AB}|$ .
La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

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Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, $\vec{AB}$ y $\vec{CD}$ , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos $\vec{AB}=\vec{CD}$

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: $\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...$

Vectores equipolentes

$\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}$

Vectores equipolentes Descripción:

En esta escena podrás ver un conjunto de vectores equipolentes.

Vectores libres Descripción:

Cuenta los vectores libres que hay en la escena.

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Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos $\vec{0}$ .

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Vectores opuestos

Dos vectores, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos $\vec{u}=-\vec{v}$ .

Vectores opuestos: $\vec{u}=-\vec{v}$

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Operaciones con vectores

Operaciones con vectores (5´24") Sinopsis:

Suma y resta de vectores (método gráfico).
Multiplicación de un vector por un escalar (método gráfico).
Ejemplos y ejercicios.

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Producto de un vector por un número

El producto de un número real $k\,$ por un vector $\vec{v}$ es otro vector $k\vec{v}$ que tiene las siguientes características:

Módulo: $|k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|$ ( $|k|\,$ es el valor absoluto del número real $k\,$ )
Dirección: la misma que $\vec{v}$ .
Sentido: el mismo que $\vec{v}$ si $k>0\,$ y opuesto si $k<0\,$ .

Producto de un vector por un número Descripción:

En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número o escalar.

$\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}$

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Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , para sumarlos se elige un representante del vector $\vec{v}$ que tenga como origen el extremo de $\vec{u}$ . De esta manera el vector suma será otro vector, $\vec{u} + \vec{v}$ , que tendrá como origen el origen de $\vec{u}$ y por el extremo, el extremo de $\vec{v}$ .

Suma de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman vectores.

Resta de vectores:

Para restar dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , sumamos al vector $\vec{u}$ el opuesto de $\vec{v}$ . Es decir, $\vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v})$ .

Resta de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se restan vectores.

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Suma de vectores (2 métodos) Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos.

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Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y $a,b \in \mathbb{R}$ , el vector $\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}$ se dice que es una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector $\vec{w}$ es combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , siendo los coeficientes $a=3\,$ y $b=2\,$ .

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector

$\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})$

es combinación lineal de $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{z}$ .

Combinación lineal de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se expresa un vector como combinación lineal de otros dos.

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Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos

Procedimiento

Para expresar gráficamente el vector $\vec{w}$ como combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ $(\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})$

Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
A continuación, por el extremo de $\vec{w}$ trazamos paralelas a los otros dos vectores.
Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector $a \cdot \vec{u}$ y $b \cdot \vec{v}$ .