Factorización de polinomios (1ºBach)
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| - | *Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''. | + | *Siempre que se pueda, sacaremos <math>x\;</math> '''factor común'''. |
| - | *Mediante la '''[[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. | + | *Mediante la '''regla de [[Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. |
| *Si es un '''polinomio bicuadrado''', ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero. | *Si es un '''polinomio bicuadrado''', ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero. | ||
| *Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos. | *Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos. | ||
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Tabla de contenidos |
Divisibilidad de polinomios
Polinomios múltiplos y divisores
La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .
Un polinomio 
es divisor de otro, 
y lo representaremos por 
, si la división 
es exacta. Es decir, cuando
|
|
En tal caso, diremos que es divisible por 
. También diremos que es un múltiplo de .
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.
Son polinomios irreducibles, entre otros:
- Los de primer grado:
- Los de segundo grado sin raíces:
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, 
, con raíces rales, 
y 
, se puede factorizar de la forma
- El polinomio
tiene dos raíces: 
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 
. Entonces:
- El polinomio incompleto de grado 3,
, se puede descomponer de la siguiente manera:
- (Observa que primero hemos sacado factor común
y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma 
, siendo 
un número entero.
Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,
Vamos a dividir el polinomio
entre el binomio
para obtener el cociente
y el resto 
.
1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x) y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
| an an-1 ... a1 a0
|
r |
----|---------------------------------------------------------
|
|
2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (an) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b:
| an an-1 ... a1 a0
|
r |
----|---------------------------------------------------------
| an
|
| = bn-1
|
3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
| an an-1 ... a1 a0
|
r | bn-1r
----|---------------------------------------------------------
| an
|
| = bn-1
|
4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
| an an-1 ... a1 a0
|
r | bn-1r
----|---------------------------------------------------------
| an an-1+(bn-1r)
|
| = bn-1 = bn-2
|
5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
| an an-1 ... a1 a0
|
r | bn-1r ... b1r b0r
----|---------------------------------------------------------
| an an-1+(bn-1r) ... a1+b1r a0+b0r
|
| = bn-1 = bn-2 ... = b0 = s
|
Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante 
, el grado será menor que el grado de 
. El resto será .
Ejemplo: Regla de Ruffini
Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:
7 -5 -4 6 -1 2 14 18 28 68 7 9 14 34 67 Operaciones: El resultado significa que el cociente de la división
y el resto es 
-
Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2
- Siempre que se pueda, sacaremos factor común.
- Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz
de un polinomio , tendremos que 
, donde 
tiene un grado menos que .
- Si es un polinomio bicuadrado, ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
- Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.
