Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
2 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
3 Razones trigonométricas del ángulo doble
4 Razones trigonométricas del ángulo mitad
5 Sumas y diferencias de senos y cosenos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

I.1: $sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.2: $cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.3: $tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Demostración:

I.1:

$sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}$

En el triángulo ABC: $\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha$
En el triángulo OAQ: $\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha$
En el triángulo OBA: $\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}$

Sustituyendo:

$sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha$

I.2:

$cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}$

En el triángulo ABC: $\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha$
En el triángulo OAQ: $\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha$

Sustituyendo:

$cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.3:

$tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=$

(Dividiendo numerador y denominador por $cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta$ )

$=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Sumas y diferencias de senos y cosenos

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Categorías: Matemáticas | Geometría | Funciones

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Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 17:24 3 mar 2009

Tabla de contenidos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Sumas y diferencias de senos y cosenos

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