Plantilla:Cálculo del límite de una función (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 13:16 17 dic 2016

Tabla de contenidos

1 Cálculo del límite de una función en un punto
2 Límite en un punto en el que la función es continua
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Límite de funciones a trozos
4 Límites peligrosos
- 4.1 Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador
5 Límite de cociente de funciones polinómicas

Cálculo del límite de una función en un punto

El cálculo del límite de una función en un punto puede ser muy fácil (inofensivo) o difícil (peligroso). Vamos a ver como hay que proceder en cada caso. En los siguientes videos puedes ver algunas nociones previas de interés.

Cálculo del límite de una función en un punto (7'23") Sinopsis:

Problema típico: te dan la función "f" y te piden que, si existe, calcules su límite en el punto "c".

Límites inofensivos: si para calcular f(c) no se viola ninguna Regla Sagrada, la función "f" tiene límite en "c" y coincide con f(c); o sea, existen los dos límites laterales de "f" en "c" y coinciden con f(c).
Límites peligrosos: si para calcular f(c) se viola ninguna Regla Sagrada, el cálculo del límite de "f" en "c" puede ser muy complicado, y no hay ninguna receta mágica que resuelva el problema en todos los casos.

No debes olvidar que para calcular el límite en un punto nos importa un pito si la función está o no definida en dicho punto, sólo nos interesa que la función está definida en las proximidades del punto.

Paso al límite (6'37") Sinopsis:

La operación lógica que llamamos paso al límite (PL) se reduce a conjugar la tercera persona del singular del presente de indicativo del verbo tender.

Recuerda: al escribir x → c (se lee "x" tiende a "c") queremos decir que "x" (o sea, tú) se aproxima a "c" indistintamente por la izquierda o por la derecha.

Operaciones con límites (2'33") Sinopsis:

Este vídeo es muy importante: en él hablamos de operaciones con límites, y las efectuaremos constantemente a partir de ahora.

Límite en un punto en el que la función es continua

El caso más sencillo de cálculo del límite de una función en un punto es aquel en el que la función es continua en dicho punto. En efecto:

Proposición

Si $f(x)\;$ es continua en el punto $x=c\;$ , entonces

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Demostración:

Es inmediato, por la propia definición de función continua en un punto.

Ejemplo: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

Calcula:

$\lim_{x \to 3} \cfrac{x-2}{x-5}$

Solución:

$D_f= \mathbb{R}-\{5\}$ y sabemos que la función es continua en su dominio por ser una función elemental (cociente de funciones polinómicas).

Como $3 \in D_f$ , entonces $f\;$ es continua en 3 y, por tanto:

$\lim_{x \to 3} f(x)=f(3)=\cfrac{3-2}{3-5}=-\cfrac{1}{2}$

Ejemplo de límite inofensivo (8'03") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 7} \, 4x+2$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Límite en un punto en el que la función es continua

(Pág. 278)

Límite de funciones a trozos

Ejemplos: Límite de una función definida a trozos

Estudia la continuidad de la siguiente función:

$y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}$

Solución:

Si $x<1\;$ , $f(x)=x^2\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(-\infty,1)$ .

Si $x>1\;$ , $f(x)=2x+1\;$ es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en $\mathbb{R}$ , en particular en $(1,+\infty)$ .

Falta estudiar la continuidad en $x=1\;$ .

Recordemos que una función $f\;$ es continua en $x=c\;$ si

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

o equivalentemente, si

$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)$

Calculemos los límites laterales de la función en $x=1\;$ :

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1$

$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+1=2 \cdot 1+1=3$

Como $1 \ne 3$ , los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe el límite en $x=1\;$ . En consecuencia, la función no es continua en $x=1\;$ .

Ejemplos: Límite de una función definida a trozos

Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:

$y = \begin{cases} x^2-5x+1 & \mbox{si }x \le 4 \\ 2x+n & \mbox{si }x>4 \end{cases}$

Solución:

n=-11

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejemplos: Estudio de la continuidad de una función definida a trozos

1. Ejemplos (9'41") Sinopsis:

2 ejemplos del estudio de la continuidad de una función definida a trozos con parámetros.

2. Ejercicio de una una prueba de acceso a la Universidad (7'49") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función definida a trozos con parámetros.

Solución:

{{{sol}}}

Límites peligrosos

Vamos a considerar que un límite es "peligroso" o difícil de calcular, si la función en dicho punto no está definida y, por tanto, no podemos aplicar la propiedad de que el valor del límite en un punto en el que la función es continua coincide con el valor de la función en dicho punto.

Límites peligrosos (13'41") Sinopsis:

En este vídeo establecemos el protocolo de actuación cuando al hacer un PL nos encontramos con cualquiera de las siguientes tres situaciones:

Cociente cuyo denominador tiende a 0, pero no así el númerador.
Logaritmo de un número que tiende a 0.
Raíz de índice par de un número que tiende a 0.

Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Procedimiento

Cuando el denominador de la función se anula en el punto en el que queremos calcular el límite, nos podemos encontrar con dos situaciones:

El numerador no se anula: entonces calcularemos los límites por la derecha y por la izquierda que podrán ser $+\infty$ ó $-\infty$ . En tal caso el límite podrá no existir (si los límites laterales no coinciden) o podrá der $+\infty$ ó $-\infty$ (si los límites laterales coinciden).
El numerador también se anula: entonces tendremos una indeterminación del tipo 0/0. Para resolverla haya que recurrir a técnicas especiales. El caso en el que la función sea racional lo trataremos más adelante.

Ejemplo: Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Calcula el valor de los siguientes límites:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{sen \,x}$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}$

Solución:

a) No existe el límite porque:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{sen \,x}=+ \infty$ , ya que el denominador tiende a

0 +

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{sen \,x}=- \infty$ , ya que el denominador tiende a

0 -

b) El numerador y el denominador tienden a 0 (a esto se le llama una "indeterminación del tipo 0/0"). Usando la calculadora (no tenemos otra herramienta en este curso para este caso), se puede comprobar que:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}=1$

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Límite de cociente de funciones polinómicas

2 ejemplos de límites infinitos (13'16") Sinopsis:

Siendo la función "f" un cociente de polinomios, en este vídeo vemos dos ejemplos de cálculo del límite de "f" en un punto "c" en que se anula el denominador pero no el numerador.

AVISO: El procedimiento utilizado en este ejercicio excede ligeramente el nivel de 1º de bachillerato.

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:C%C3%A1lculo_del_l%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

 Calculemos los límites laterales de la función en <math>x=1\;</math>:
-<math>\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1</math>
+:<math>\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1</math>
-<math>\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+1=2 \cdot 1+1=3</math>
+:<math>\lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+1=2 \cdot 1+1=3</math>
 Como <math>1 \ne 3</math>, los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe el límite en <math>x=1\;</math>. En consecuencia, la función no es continua en <math>x=1\;</math>.

Plantilla:Cálculo del límite de una función (1ºBach)

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Cálculo del límite de una función en un punto

Límite en un punto en el que la función es continua

Ejercicios propuestos

Límite de funciones a trozos

Límites peligrosos

Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Límite de cociente de funciones polinómicas

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