Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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|sol= |sol=
a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1 a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1
 +
b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3 b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3
 +
c) A.V.: x=3; R.I. c) A.V.: x=3; R.I.
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-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:+Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:
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|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos. |descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones] |enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]
 +}}
}} }}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===

Revisión de 08:14 19 dic 2016

Tabla de contenidos

Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a + \infty o a -\infty.

Hay tres tipos:

  • Asíntota vertical (A.V.)
  • Asíntota horizontal (A.H.)
  • Asíntota oblicua (A.O.)

Asíntota vertical

Una función f(x)\; presenta en x=a\; una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)
\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Asíntota vertical: x = 2

Asíntota horizontal

Una función f(x)\; presenta una asíntota horizontal (A.H.) en y=a\; si:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= a

o bien,

\lim_{x \to -\infty} f(x)= a

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Asíntota horizontal: y = 1

Asíntota oblicua

Una función f(x)\; presenta una asíntota oblicua (A.O.) en y=mx+n\; si:

\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0

o bien,

\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.


Para calcular los coeficientes m\; y n\; de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}     (o bien, con x \to -\infty)
n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]     (o bien, con x \to -\infty)

Asíntota oblicua: y = x + 3

Rama parabólica

Una función f(x)\; presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)

o bien,

\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)

Ramas parabólicas

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas


(Pág. 287)

1

Ramas infinitas de las funciones racionales

ejercicio

Proposición


Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

La función f(x)\; tiene las siguientes ramas infinitas:

  • Asíntotas verticales:
    • Si x=c\; es una raíz de Q(x), entonces la recta x=c\; es una asíntota vertical de f(x)\;.

  • Asíntotas horizontales:
    • Si n<m\;, entonces la recta y=0\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.
    • Si n=m\;, entonces la recta y=\cfrac{a_n}{b_n}\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.

  • Asíntotas oblicuas:
    • Si n-m=1\;, f(x)\; tienen una asíntota oblicua, tanto por + \infty, como por - \infty. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre P(x)\; y Q(x)\;.

  • Ramas parabólicas:
    • Si n-m>1\;, entonces f(x)\; tiene una rama parabólica, tanto por + \infty, como por - \infty.

ejercicio

Ejercicios resueltos


Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}        b) y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}        c) y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales


(Pág. 289)

1

Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales

Funciones logartmicas

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas


(Pág. 290)

1

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda