Cociente de polinomios (3ºESO Académicas)
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Revisión actual
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Tabla de contenidos |
(Pág. 90)
División de monomios
Entenderemos la división entre monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.
Ejemplos: División de monomios
Calcula:
- a)
- b)
a) 
División de monomios (6'54") Sinopsis: Aprende a dividir monomios
Ejercicio 1 (9'07") Sinopsis: Divide:
- a)
- b)
- c)
Ejercicio 2 (11'33") Sinopsis: Divide los siguientes monomios:
- 54)
; 55) 
; 56) 
; 57) 
- 58)
; 59) 
; 60) 
; 61) 
- 62)
; 63) 
; 64) 
; 65) 
División de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio ente un monomio se divide cada uno de los monomios que componen el polinomio entre el monomio.
Tutorial 1 (5'53") Sinopsis: Aprende a dividir un polinomio entre un monomio
Tutorial 2 (18'07") Sinopsis:En este tutorial se explica la división de polinomios entre monomios.
Ejercicios (7'13") Sinopsis: Divide:
- a)
- b)
División de polinomios
La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.
Dados dos polinomios 
(dividendo) y 
(divisor) de modo que el grado de sea mayor o igual que el grado de y el grado de sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios 
(cociente) y 
(resto) tales que:
que también podemos representar como:
- El grado de es igual a la diferencia entre los grados de y , mientras que el grado de será, como máximo, un grado menor que .
- Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.
Ejemplo: División de polinomios
Divide los siguientes polinomios:
Tutorial 1 (6´42") Sinopsis:División de polinomios. Ejemplos.
Tutorial 2 (8´32") Sinopsis: Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).
Tutorial 3 (17´13") Sinopsis: Cómo se hace la división de polinomios
Tutorial 4 (10´24") Sinopsis:División de polinomios
Ejercicio 1 (19'10") Sinopsis:Calcula:
a) 
b) 
Ejercicio 2 (10'30") Sinopsis: Calcula: 
Ejercicio 3 (9'45") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 4 (12'15") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 5 (12´09") Sinopsis: Calcula:
a) 
b) 
Ejercicio 6 (9'59") Sinopsis: Calcula: 
Ejercicio 7 (8´45") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios entre binomios:
- 1a)
- 1b)
- 1c)
Ejercicio 8 (13'34") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 2a)
- 2b)
- 2c)
- 2d)
- 2e)
Ejercicio 9 (13'26") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 3a)
- 3b)
Ejercicio 10 (12'27") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 3c)
- 3d)
Ejercicio 11 (10'46") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 4a)
- 4b)
- 4c)
- 4d)
Ejercicio 12 (9'47") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 5a)
- 5b)
- 5c)
- 5d)
Ejercicio 13 (10'20") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 6a)
- 6b)
- 6c)
- 6d)
Ejercicio 14 (10'27") Sinopsis: Indica qué divisiones de polinomios son exactas:
- 7a)
- 7b)
- 7c)
- 7d)
Ejercicio 15 (14'53") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 8a)
- 8b)
- 9a)
- 9b)
- 9c)
Ejercicio 16 (12'41") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 9d)
- 9e)
- 9f)
- 9g)
- 9h)
- 9i)
- 9j)
Ejercicios 17 (7´08") Sinopsis:Divide los siguientes polinomios:
- a)
- b)
Tutorial (12´03) Sinopsis:Método de Horner para la división de polinomios
Ejercicio 1 (8´18) Sinopsis: Calcula: 
Ejercicio 2 (9´27) Sinopsis: Halla el resto de la división:
Ejercicio 3 (9´01) Sinopsis: Halla el resto de la división
sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.
Autoevaluación: División de polinomios Descripción: Ejercicios de autoevaluación sobre división de polinomios.
Actividad: División de polinomios Calcula el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:  Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: quotient and remainder (x^3-4x^2+x+6)/(x-1) |
División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma 
.
Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,
Procedimiento:
Vamos a dividir el polinomio
entre el binomio
para obtener el cociente
y el resto 
.
1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de y los escribimos ordenados. Entonces escribimos 
en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, 
, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes 
:
3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
son los coeficientes del polinomio cociente , cuyo grado será un grado menor que el del dividendo . El resto será .Ejemplo: Regla de Ruffini
Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:
| 7 -5 -4 6 -1
|
2| 14 18 28 68
--|-------------------
| 7 9 14 34 |67
|____
El resultado significa que:
|
|
Tutorial 1 (5´53") Sinopsis:Regla de Ruffini. Ejemplos.
Tutorial 2 (8'48") Sinopsis:Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.
Tutorial 3 (13´16") Sinopsis: La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.
Tutorial 4 (10´38") Sinopsis: Cómo se aplica la Regla de Ruffini.
Tutorial 5 (5´26") Sinopsis:División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).
Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis: Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.
Ejercicio 2 (17'39") Sinopsis:2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.
Ejercicio 3 (7´07) Sinopsis: 2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini
Ejercicio 4 (6´57") Sinopsis: Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini
Ejercicio 5 (6'50") Sinopsis: Divide 
entre 
.
Ejercicio 6 (12´03) Sinopsis: a) Divide 
entre 
b) Divide 
entre 
Ejercicio 7 (14´17") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 1a)
- 1b)
- 1c)
- 1d)
- 1e)
- 1f)
Ejercicio 8 (13´24") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 1g)
- 1h)
- 1i)
- 1j)
- 1k)
- 1l)
Ejercicio 9 (10´40") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 2a)
- 2b)
- 2c)
- 2d)
- 2e)
Ejercicio 10 (9´14") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 2f)
- 2g)
- 2h)
- 2i)
- 2j)
Ejercicio 11 (4´13") Sinopsis:Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- a)
- b)
- c)
Autoevaluación: Regla de Ruffini Descripción: Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.
Divisibilidad de polinomios
Polinomios múltiplos y divisores
- Un polinomio
es divisor de otro, 
y lo representaremos por 
, si la división 
es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio tal que 
.
- En tal caso, diremos que es divisible por y que es un múltiplo de .
- También diremos que y
son factores del polnomio .
Dados los polinomios:
:Se cumple que
, porque .Es decir, la siguiente división es exacta:
porque:
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.
Son polinomios irreducibles, entre otros:
- Los de primer grado:
- Los de segundo grado sin raíces:
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Se dice que el polinomio 
es el máximo común divisor de los polinomios y , y lo expresaremos:
![m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;](/wikipedia/images/math/c/6/6/c66f3168e53561a04ed46aade0f24ca0.png)
si es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.
Dados los polinomios:
:
Su máximo común divisor es:
![m.c.d \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^2(x-3)\;](/wikipedia/images/math/9/6/c/96c02ce39375f7c1585c25c27c0c0fcb.png)
Se dice que el polinomio 
es el mínimo común múltiplo de los polinomios y , y lo expresaremos:
![m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;](/wikipedia/images/math/2/2/1/221e514439439421dc1201091dd735b3.png)
si es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.
Dados los polinomios:
-
- :
Su mínimo común múltiplo es:
![m.c.m \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;](/wikipedia/images/math/8/d/5/8d598eb8a1613c40ffc2eebba001fa1f.png)
Raíces de un polinomio
Un número 
es una raíz o un cero de un polinomio , si 
.
Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación 
.
Raíces de un polinomio (8'40") Sinopsis:Raíces de un polinomio. Ejemplos.
Teorema del factor
es una raíz de un polinomio si y solo si 
es un factor de dicho polinomio.
En efecto, si es una raíz de , entonces 
y, por el teorema del resto, el resto de dividir entre es cero. Así es un factor de .
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de otros polinomios con menor grado que el de partida.
Normalmente buscaremos la factorización máxima, que es la que se obtiene cuando los polinomios de la descomposición son irreducibles.
Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.
Tutorial 1 (19'42") Sinopsis:Factorización de polinomios:
- Extraer factores comunes.
- Utilizar las igualdades notables.
- Propiedad de factorización de los polinomios de 2º grado.
Tutorial 2a (5'10") Sinopsis:Introducción a la factorización de polinomios: Qué son los factores de un polinomio.
Tutorial 2b (8'21") Sinopsis:Introducción a la factorización de polinomios: Obtención de un polinomio a partir de sus raíces.
Tutorial 2c (7'14") Sinopsis:Introducción a la factorización de polinomios: Factorización de polinomios de grado 2.
Tutorial 3a (5'25") Sinopsis: Introducción a la divisibilidad y factorización de polinomios.
Tutorial 3b (9'37") Sinopsis: Ejemplos de distintas técnicas de factorización de polinomios.
Tutorial 3c (10'34") Sinopsis: Ejemplos de distintas técnicas de factorización de polinomios.
Factorización de monomios:
Ejercicio 1 (2'37") Sinopsis: Elige la factorización correcta del monomio 
.
Ejercicio 2 (2'37") Sinopsis: Encuentra el monomio que falta: 
.
Ejercicio 3 (2'49") Sinopsis: Encuentra el ancho de un rectángulo de área 
, uno de cuyos lados mide 
.
Ejercicio 4 (3'15") Sinopsis: Determina el máximo común divisor de 
y 
.
Actividad 1 Descripción: Actividad sobre divisibilidad y factorización de polinomios.
Actividad 2 Descripción: Factoriza monomios.
Actividad 3 Descripción: Máximo común divisor de monomios.
Autoevaluación 1 Descripción: Divisibilidad y factorización de polinomios.
Autoevaluación 2 Descripción: Factoriza monomios.
Distintas estrategias para la factorización de polinomios:
Actividad Descripción: Factorizar expresiones cuadráticas en cualquier forma.
Factorización sacando factor común
Factorización usando productos notables
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, 
, con raíces rales, 
y 
, se puede factorizar de la forma
Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles
Factoriza los siguientes polinomios
- a)
- b)
- El polinomio tiene dos raíces:
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 
. Entonces:
- El polinomio incompleto de grado 3, , se puede descomponer de la siguiente manera:
- (Observa que primero hemos sacado factor común
y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
Tutorial (8'02") Sinopsis: Descomposición factorial de polinomios de grado 2 resolviendo la ecuación de segundo grado.
Ejercicio 1 (13'56") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:
- 5a)
- 5b)
Ejercicio 2 (8'51") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:
- 5c)
- 5d)
Ejercicio 3 (9'38") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:
- 5e)
- 5f)
Ejercicio 4 (6'08") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado resolviendo la ecuación de 2º grado:
- a)
- b)
- c)
- d)
Actividad: Factorización de polinomios de grado 2 Factoriza los siguientes polinomios de grado 2 o reducibles a grado 2:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: a) factor 4x^2+4x+1 b) factor x^2+x+1 c) factor x^2-16x d) factor 4x^2-25 e) factor 5x^2+20 f) factor 4x^4+x^2 |
Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini
Teorema
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.
Demostración:
En efecto, sea una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros
Entonces, como , tendremos que
de donde, despejando el termino independiente
en todos sus sumandos, es un múltiplo de , entonces 
también. Luego divide al término independiente.Procedimiento para factorizar polinomios por Ruffini
Para factorizar un polinomio P(x) mediante la regla de Ruffini seguiremos los siguientes pasos:
- Por el teorema anterior, los candidatos a raíces del polinomio P(x) son los divisores (positivos y negativos) del término independiente.
- Para cada candidato a raíz, "a", efectuaremos la división de P(x) entre (x-a), mediante la regla de Ruffini.
- Si el resto es cero, "a" será una raíz de P(x). Si no, seguiremos probando con el siguiente candidato.
- Si "a" resulta ser una raíz, entonces tendremos una primera factorización: P(x)=(x-a)· Q(x), donde Q(x) tiene un grado menos que P(x).
- Seguiremos probando con los candidatos (incluido el último que resultó ser raíz) para factorizar Q(x) por Ruffini.
- El proceso para cuando no quedan candidatos o Q(x) tiene grado 1.
Ejemplo: Regla de Ruffini
Factoriza el siguiente polinomio:
Primero sacaremos factor común, con lo cual tendremos una primera factorización:
A continuación factorizamos 
:
Los candidatos a raíces son los divisores (positivos y negativos) del término independiente. Como el término independiente es 6, los candidatos son: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.
Empezaremos probando con el 1:
| 1 -4 1 6
|
1| 1 -3 -2
--|---------------
| 1 -3 -2 |4
|____
Como el resto es distinto de cero, el 1 no es raíz. Pasamos a probar con -1:
| 1 -4 1 6
|
-1| -1 5 -6
--|---------------
| 1 -5 6 |0
|____
Como el resto es cero, -1 es raíz y 
es un factor:
Seguimos aplicando Ruffini para factorizar el polinomio de grado 2. Probamos con -1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz, pero resulta que no lo es. Probamos con el siguiente, 2:
| 1 -5 6
|
2| 2 -6
--|-------------
| 1 -3 |0
|____
Como el resto es cero, 2 es raíz y 
es un factor:
Tutorial 1 (26'17") Sinopsis:Método que nos permite factorizar polinomios de grado mayor que dos.
Tutorial 2 (9´55") Sinopsis: - Factorizar un polinomio P(x) es expresarlo como producto de otros de menor grado que él, y para ello hay que calcular los "ceros" de P(x), cosa no siempre fácil.
- Si "a" es un "cero" de P(x) y C(x) es el cociente de la división P(x)/(x-a), entonces P(x) = (x-a).C(x).
- Teorema de la factorización: si los coeficientes de un polinomio P(x) son números enteros, los ceros enteros de P(x) son divisores del término independiente de P(x).
- Si la suma de los coeficientes de P(x) es 0, pues apostar tranquilamente la vida a que el número 1 es un "cero" de P(x); o sea, P(x) es divisible por (x-1).
Tutorial 3 (9'19") Sinopsis: Cómo hacer una descomposición factorial de polinomios por Ruffini.
Ejercicio 1 (11´14") Sinopsis: Factoriza los polinomios:
- a)
- b)
Ejercicio 2 (9´29") Sinopsis: Factoriza el polinomio 
Ejercicio 3 (9´36") Sinopsis: Factoriza el polinomio 
Ejercicio 4 (9´27") Sinopsis: Factoriza el polinomio 
sabiendo que sólo tiene raíces fraccionarias.
Ejercicio 5 (8'59") Sinopsis: Hallar los puntos de intersección de las dos funciones polinómicas siguientes:
Ejercicio 6 (9'25") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:
- 8a)
- 8b)
Ejercicio 7 (8'14") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:
- 8c)
- 8d)
Ejercicio 8 (7'01") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:
- 8e)
- 8f)
Ejercicio 9 (8'01") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:
- 8g)
- 8h)
Ejercicio 10 (8'01") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:
- 8i)
- 8j)
Ejercicio 11 (8'33") Sinopsis: Factoriza los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini:
- 8k)
- 8l)
Actividad: Factorización de polinomios Factoriza el siguiente polinomio:  Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: factor x^4+3x^2-4x |
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Cociente de polinomios (Pág. 91)
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