Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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Revisión de 18:13 18 dic 2016

Tabla de contenidos

1 Ramas infinitas
2 Ramas infinitas de las funciones racionales
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
- 3.1 Ejercicios propuestos

Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

Rama parabólica

Una función f(x) presenta una rama parabólica si ocurre alguno de los dos casos siguientes:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

Ramas infinitas que no son asíntotas

Asíntotas

Las asíntotas son rectas hacia las que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Hay tres tipos:

Asíntota vertical (A.V.)
Asíntota horizontal (A.H.)
Asíntota oblicua (A.O.)

Asíntota vertical

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

Ejemplo:

Veamos cómo la función $f(x)=\cfrac{x^2}{x-2}$ presenta una A.V. en $x=1\;$

En efecto,

$\lim_{x \to 2^-} \cfrac{x^2}{x-2}= -\infty$

$\lim_{x \to 2^+} \cfrac{x^2}{x-2}= +\infty$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota vertical: x = 2

Asíntota horizontal

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}$ presenta una A.H. en $y=1\;$

En efecto,

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

$\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota horizontal: y = 1

Asíntota oblicua

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si ocurre:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o con $x \to -\infty$ )

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}$ presenta una A.O. en $y=x+3\;$

En efecto, sea $y=mx+n\;$ la A.O., entonces:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1$

$n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3$

Para $x \to -\infty$ se obtendrían los mismo valores.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota oblicua: y = x + 3

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas

(Pág. 287)

Ramas infinitas de las funciones racionales

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales

(Pág. 289)

Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

(Pág. 290)

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ramas_infinitas._As%C3%ADntotas_%281%C2%BABach%29"

 ====Asíntota oblicua====
 {{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota oblicua''' (A.O.) en <math>y=mx+n\;</math> si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:
+{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota oblicua''' (A.O.) en <math>y=mx+n\;</math> si ocurre:
-:<math>\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math>
+<center><math>\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math>{{b4}}(o bien, con <math>x \to -\infty</math>)</center>
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 Para calcular los coeficientes <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:
 {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}</math> presenta una A.O. en <math>y=x+3\;</math>
-En efecto, sea y=mx+n la A.O., entonces:
+En efecto, sea <math>y=mx+n\;</math> la A.O., entonces:
-:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x)}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2)}=1</math>
+:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1</math>
-:<math>n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} [\cfrac{x^2+1}{x-3}-x]= \lim_{x \to +\infty} [\cfrac{x^2+1^-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3</math>
+:<math>n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3</math>
 Para <math>x \to -\infty</math> se obtendrían los mismo valores.

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Rama parabólica

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