Plantilla:Regla de Ruffini

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Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\;$ , siendo $r\;$ un número entero.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Procedimiento:

Vamos a dividir el polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto $s\;$ .

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de $P(x)\;$ y los escribimos ordenados. Entonces escribimos $r\;$ en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}$

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, $a_n\;$ , justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes $b_{n-1}\;$ :

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por $r\;$ y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}$

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}$

Los valores $b_i\;$ son los coeficientes del polinomio cociente $C(x)\;$ , cuyo grado será un grado menor que el del dividendo $P(x)\;$ . El resto será $s\;$ .

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

$P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!$

$Q(x)=x-2\,\!$

Solución:

   | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
  2|    14  18  28  68
 --|-------------------
   | 7   9  14  34 |67
                   |____

El resultado significa que:

Cociente de la división: $C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!$
Resto: $r=67\,\!$

Operaciones:

$2 \cdot 7=14\,\!$

$-5+14=9\,\!$

$2 \cdot 9 =18\,\!$

$-4+18=14\,\!$

$2\cdot 14=28\,\!$

$6+28=34\,\!$

$2 \cdot 34=68\,\!$

$-1+68=67\,\!$

Regla de Ruffini

Tutorial 1 (5´53·) Sinopsis:

Regla de Ruffini. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'48") Sinopsis:

Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.

Tutorial 3 (13´16") Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis:

Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 2 (17'39") Sinopsis:

2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 3 (7´07) Sinopsis:

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini

Ejercicio 4 (6´57") Sinopsis:

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini

Ejercicio 5 (6'50") Sinopsis:

Divide $4x^4-5x^2-3x+11\;$ entre $x-2\;$ .

Ejercicio 6 (12´03) Sinopsis:

a) Divide $-ax^3+a^3x-1\;$ entre $x-a\;$

b) Divide $6x^{40}-42x^{30}+8x^{20}-56x^{10}+57\;$ entre $x^{10}-7\;$

Autoevaluación: Regla de Ruffini Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Regla_de_Ruffini"

 |demo=
-'''Nota:''' Lo que sigue no es una demostración, sino el proceso que hay que seguir para aplicar la regla.
+'''Procedimiento:'''
 Vamos a dividir el polinomio

Plantilla:Regla de Ruffini

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