Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva
2 Estudio del crecimiento y de los puntos singulares
3 Problemas de optimización
4 Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hôpital
5 Estudio de la concavidad y de los puntos de inflexión (ampliación)

Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva

Proposición

La ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)\;$ en un punto de abscisa $x=a\;$ viene dada por la ecuación:

$y-f(a)=f'(a)(x-a)\;$

Ejemplo: Ecuación de la recta tangente

Dada la función $f(x)=x^2-3\;$ , halla la ecuación de la recta tangente en el punto $x=1\;$ .

Solución:

$f(x)=x^2-3 \ \rightarrow \ f(1)=-2$

$f'(x)=2x \ \rightarrow \ f'(1)=2$

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto $x_0=1\;$ es:

$y=y_0+m(x-x_0)\;$

$y=f(1)+f'(1)(x-1)\;$

$y=-2+2(x-1)\;$

$y=2x-4\;$

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

Ejercicio resuelto: Ecuación de la recta tangente

Dada la función $f(x)=\cfrac{x^3-3x^2}{9}$ , halla las ecuaciones de la rectas tangentes que sean paralelas a la bisectriz del primer cuadrante.

Solución:

Hay dos soluciones:

$y=x+\frac{5}{9}$
$y=x-3\;$

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

Ejercicios: Ecuación de la recta tangente y de la recta normal

Ejercicio 1 (6'12") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $y=\cfrac{1}{x-2}\,$ en el punto $P(4,\frac{1}{2})$ .

Ejercicio 2 (12'10") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $y=3x^2\,ln\,x\, + 4x\,$ en el punto de abscisa 1.

Ejercicio 3 (14'28") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta normal a la curva $y=\cfrac{3x-1}{x+1}\,$ en el punto de abscisa 3.

Ejercicio 4 (8'23") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta normal y tangente a la curva $y=x^3+1\,$ en el punto de abscisa 1.

Ejercicio 5 (7'38") Sinopsis:

Hallas las coordenadas del punto de la curva $y=x^2\;$ en el que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Ejercicio 6 (9´38") Sinopsis:

Encontrar los vectores unitarios que son paralelos a la recta tangente a la función $y=x^2\;$ en el punto (2,4).

Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

Estudio del crecimiento

Funciones crecientes y decrecientes (13'02") Sinopsis:

Criterios de crecimiento y decrecimiento (7'19") Sinopsis:

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

Extremos de una función

Determinación de los extremos relativos (13'46") Sinopsis:

Determinación de máximos y mínimos absolutos (14'45") Sinopsis:

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento

Dada la función $f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;$ , halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Solución:

$f'(x)=3x^2-12x+9\;$

Puntos singulares:

$f'(x)=0 \iff 3x^2-12x+9=0 \iff x=\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2=3 \end{cases}$

Para estudiar el crecicmiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica.

             -inf     1       3    +inf       
          -----!------!-------!------!
          f'(x)!  +   !   -   !  +   !
          -----!------!-------!------!
           f(x)! Cre  ! Decre ! Cre  !
          ----------------------------

Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.

Ejercicios: Crecimiento y puntos extremos

Ejercicio 1 (6'49") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x^3-3x+2\;$

Ejercicio 2 (7'42") Sinopsis:

Encuentra el valor de "k" tal que $f(x)=x+\cfrac{k}{x}\;$ tenga un máximo local en x=-2.

Problemas de optimización

Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.

Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

Procedimiento

Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.

Optimización

El verbo optimizar (09'03") Sinopsis:

Introducción a los problemas de optimización.
Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola $y=\cfrac{x^2}{4}$ más próximo al punto (-1,2).
Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva $y^2=4x\,$ más próximo al punto (2,-1).

Ejemplo 1 (7'11") Sinopsis:

El coste total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de x automóviles es

$C(x)=4x+720+\cfrac{921600}{x}$

Determina el tamaño del pedido que minimiza el coste total.

Ejemplo 2 (13'47") Sinopsis:

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentra las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser 12 metros.

Ejemplo 3 (10'38") Sinopsis:

Se necesita construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de largo 24 cm y ancho 12 cm. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que debe cortarse en cada esquina para maximizar el volumen de la caja? ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo?.

Ejemplo 4 (11'59") Sinopsis:

Optimización del área impresa de un folio bajo ciertas condiciones.

Actividades interactivas: Problemas de optimización

Problema 1: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).

Solución:

Solución al problema 1 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 2: Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.

Solución:

Solución al problema 2 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.

Problema 3: Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad.

¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.

Solución:

Solución al problema 3 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 4a: De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Solución:

Solución al problema 4a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 4b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 5: Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

Solución:

Solución al problema 5 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 6: Dada la función definida en el intervalo [1,e] por $f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x$ , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.

Solución:

Solución al problema 6 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 7a: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima?

Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágono ACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.

Solución:

Solución al problema 7a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 7b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 8a: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Solución:

Solución al problema 8a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 8b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 9a: Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

Problema 9b: Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

(Este es uno de los problemas que Ferrari puso a Tartaglia en su histórico duelo de problemas)

Solución:

Solución al problema 9a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 9b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hôpital

Regla de L'Hôpital

Si al calcular $\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}$ se presenta una indeterminación del tipo $\cfrac{0}{0}$ ó $\cfrac{\infty}{\infty}$ , y $\lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \, ; \ (l \in \mathbb{R})$ , entonces $\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=l$ .

Esto también es cierto si $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ .

Ejercicio resuelto: Regla de L'Hôpital

Calcula:

a) $\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18}$

b) $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x}$

Solución:

a) $\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = \lim_{x \to 3} \cfrac{3x^2-5}{2x+3}=\cfrac{22}{9}$

b) $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} = ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital otra vez:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Y aplicando la regla de L'Hôpital una vez más:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6}{2^x \, (ln \, 2)^3}=0$

Ejercicios: Regla de L'Hôpital

Ejercicio 1 (3'14") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^2}{sen\,(\pi x)}$

Ejercicio 2 (5'22") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{n \to +\infty} \left( n \cdot sen\, \cfrac{\pi}{n} \right)$

Ejercicio 3 (3'26") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{n \to 0} \cfrac{ln(1+6x)}{x}$

Estudio de la concavidad y de los puntos de inflexión (ampliación)

Derivadas de orden superior (16'51") Sinopsis:

Concavidad y puntos de inflexión

Concavidad y puntos de inflexión (30'41") Sinopsis:

Concavidad:

Ejercicio 1 (2'44") Sinopsis:

Estudia la concavidad de $f(x)=5-2x-x^2\;$ .

Ejercicio 2 (5'20") Sinopsis:

Estudia la concavidad de $f(x)=x+\cfrac{1}{x}$ .

Ejercicio 3 (8'28") Sinopsis:

Estudia la concavidad de $f(x)=3x^4-4x^3+2\;$ .

Puntos de inflexión:

Ejercicio 1 (4'07") Sinopsis:

Estudia la concavidad de $f(x)=3x^3-18x\;$ .

Ejercicio 2 (11'24") Sinopsis:

Estudia la concavidad de $f(x)=\cfrac{x^5}{20}-\cfrac{x^3}{6}+x$ .

Ejercicio 3 (7'02") Sinopsis:

Estudia la concavidad de $f(x)=\cfrac{x^4}{12}-\cfrac{x^3}{3}+x-2$ .

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Utilidad_de_la_derivada_%281%C2%BABach%29"

Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)

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