Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)

De Wikipedia

Tabla de contenidos

Cálculo de la ecuación de la recta tangente

ejercicio

Proposición

La ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)\; en un punto de abscisa x=a\; viene dada por la ecuación:

y-f(a)=f'(a)(x-a)\;

Ecuación de la recta tangente     Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva dada su ecuación.

Estudio del crecimiento

ejercicio

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

  • En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
  • En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

Funciones crecientes y decrecientes (13'02")     Sinopsis:
Criterios de crecimiento y decrecimiento (7'19")     Sinopsis:

Estudio de los puntos singulares

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser máximos o mínimos, pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

Determinación de los extremos relativos (13'46")     Sinopsis:
Determinación de máximos y mínimos absolutos (14'45")     Sinopsis:

Problemas de optimización

Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.

Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

ejercicio

Procedimiento

  • Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
  • Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
  • Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
  • Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
  • Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.

El verbo optimizar (09'03")     Sinopsis:

  • Introducción a los problemas de optimización.
  • Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola y=\cfrac{x^2}{4} más próximo al punto (-1,2).
  • Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva y^2=4x\, más próximo al punto (2,-1).

ejercicio

Actividades interactivas: Problemas de optimización

Problema 1: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).
Solución:
Solución al problema 1     Descripción:
Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).
Problema 2: Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.
Solución:
Solución al problema 2     Descripción:
Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.
Problema 3a: Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad. ¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.

Problema 3b: ¿Y si la hojalata para las tapas cuesta el doble que la destinada a la cara lateral?

Solución:
[https: Solución al problema 3]     Descripción:
a) Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad.

¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.

b) ¿Y si la hojalata para las tapas cuesta el doble que la destinada a la cara lateral?

Problema 3a:

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?: ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.


Click aquí si no se ve bien la escena

Problema 3b:


Click aquí si no se ve bien la escena
Problema 4a: De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Solución:
[https: Solución al problema 4]     Descripción:
a) De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

b) De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Problema 4a:

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Click aquí si no se ve bien la escena

Problema 4b:

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.

Cambia el punto de apoyo de las rectas (inicialmente (3,1)) por otro y observa cómo varía la solución:

  • ¿Encuentras alguna regularidad?
Click aquí si no se ve bien la escena
Problema 5: Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

Solución:
[https: Solución al problema 5]     Descripción:
Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.


Click aquí si no se ve bien la escena
Problema 6: Dada la función definida en el intervalo [1,e] por f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.

Solución:
[https: Solución al problema 6]     Descripción:
Dada la función definida en el intervalo [1,e] por f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Click aquí si no se ve bien la escena
Problema 7a: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima?

Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágonoACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.

Solución:
[https: Solución al problema 7]     Descripción:
a) En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima?

b) En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágonoACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.

Problema 7a: Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Click aquí si no se ve bien la escena

Problema 7b:

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Click aquí si no se ve bien la escena
Problema 8a: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Solución:
[https: Solución al problema 8]     Descripción:
a) Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

b) Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.


Click aquí si no se ve bien la escena

Problema 8b: Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.


Click aquí si no se ve bien la escena
Problema 9a: Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

Problema 9b: Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

(Este es uno de los problemas que Ferrari puso a Tartaglia en su histórico duelo de problemas)

Solución:
[https: Solución al problema 9]     Descripción:
a) Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

b) Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

(Este es uno de los problemas que Ferrari puso a Tartaglia en su histórico duelo de problemas)

Problema 9a:

Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.


Click aquí si no se ve bien la escena

Problema 9b:

Observa la figura. Elige un valor para n (mediante el correspondiente deslizador). Mueve el punto verde y observa los cambios:

  • ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
  • ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?

Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:

  • ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
  • Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Click aquí si no se ve bien la escena

Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hopital

Para ampliar

Elasticidad de una función en un punto (11'36")     Sinopsis:

Calculo de la variación porcentual.

Derivadas de orden superior (16'51")     Sinopsis:
Concavidad y puntos de inflexión (30'41")     Sinopsis:
Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Utilidad_de_la_derivada_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda