Números racionales: Definición

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Fracciones y números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

Una fracción es es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números.

Se representa de la forma  \cfrac {a}{b} \, ,  con  a,b \in \mathbb{Z} , \, b \ne 0. También se puede representar a/b\;.

  • El número b\;\! se llama denominador e indica las partes iguales en que se divide la unidad.
  • El numero a\;\! se llama numerador e indica las partes que tomamos de dicha división.

El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según el valor las fracciones pueden ser:

  • Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
  • Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace

ejercicio

Propiedades


  • Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}
  • Todos los números decimales exactos o periódicos se pueden expresar en forma de fracción.
  • Cuando el número de decimales es infinito y no periódico, como ocurre con el número pi (π), no podemos expresarlo en forma de fracción. A estos números los llamaremos irracionales.
Representación de los números racionales mediante diagramas de Vennportaleducativo.net
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Representación de los números racionales mediante diagramas de Venn

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Fracciones propias e impropias

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Fracción en forma mixta

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\  (b<c)

ejercicio

Proposición: De de fracción impropia a forma mixta


Toda fracción impropia, \cfrac{D}{d}\;, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia. En consecuencia, toda fracción impropia se puede expresar en forma mixta:     

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}=c \begin{matrix} \frac{r}{d} \end{matrix}

    

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

Calculadora

Calculadora: Fracciones impropias


A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta, usaremos la tecla Fracción.
B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos Fracción.

Representación de fracciones en la recta numérica

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Procedimiento


  • Para ubicar una fracción propia en la recta numérica se divide el segmento unidad en partes iguales, como indica el denominador, y se ubica la facción según indica el numerador.
  • Si la fracción es impropia se pasa a forma mixta ("valor entero" + "fracción propia") y se representa las "fracción propia" en la siguiente unidad al "valor entero" obtenido.

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Ejemplo: Representación de fracciones en la recta numérica


Representa las fracciones:

-\cfrac{5}{2}, -\cfrac{1}{2}, \cfrac{10}{7}, \cfrac{23}{5}

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

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Obtención de fracciones equivalentes a una dada


Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes. Por tanto, toda fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.

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Comprobación de que dos fracciones son equivalentes


Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c

Si nos dan dos fracciones equivalentes y en una de ellas desconocemos uno de sus términos, utilizaremos el resultado anterior para averiguarlo.

Simplificación de fracciones

  • Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con el numerador y denominador menores que los de partida.
  • Cuando una fracción no se puede simplificar se dice que es irreducible.

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Procedimiento


  • Para simplificar fracciones se divide numerador y denominador por un mismo número, distinto de 1. Este proceso se puede repetir hasta hacer la fracción irreducible.
  • Si queremos hacer la fracción irreducible en un solo paso debemos dividir numerador y denominador por el m.c.d. de ambos.

Recucir fracciones a común denominador

Reducir fracciones a común denominador, consiste en encontrar fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador

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Reducir fracciones a común denominador


  1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
  2. Como denominador de las nuevas fracciones ponemos el m.c.m. calculado antes.
  3. Como numerador de cada nueva fracción, ponemos el resultado de dividir el m.c.m. entre el denominador y multiplicar por el numerador.

Orden en el conjunto de los racionales

Una forma de comparar fracciones consistía en calcular su valor numérico, efectuando la división. Vamos a ver otro procedimiento.

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Ordenar fracciones


  • De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador.
  • Para ordenar fracciones con distinto denominador debemos primero reducirlas a común denominador.

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Ejemplo: Ordenar fracciones


Ordena las siguientes fracciones: \cfrac{4}{6} \, , \ \cfrac{3}{4}  \, \ y \ \cfrac{1}{2}

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Fracciones equivalentes


1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}

2. Simplifica las fracciones:

a) \cfrac{70}{14} b) \cfrac{300}{420} c) \cfrac{105}{60}

Herramientas personales
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