Números racionales: Definición

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Fracciones y números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

  • Una fracción se expresa de la forma \cfrac {a}{b} con a,b \in \mathbb{Z}, donde a\;\! se llama numerador y b\;\! denominador. El denominador indica las partes iguales en que se divide a la unidad y el numerador las partes que tomamos. El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador.

  • Al conjunto de todas las fracciones también se le llama conjunto de números racionales. Lo representaremos por \mathbb{Q}.
\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\quad a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}

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Actividad: Números racionales


a) Representa el números 7/9 en forma de diagrama de tarta.
b) Representa el números 22/6 en forma de diagrama de tarta.
c) ¿Es -5 un número racional?

Representación de fracciones en la recta numérica

ejercicio

Actividades Interactivas: Representación de fracciones en la recta numérica


Actividad 1: Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica:

 a) \cfrac {3}{5} b) \cfrac {7}{2} c)-\cfrac {8}{3} d) -\cfrac {4}{7} e) \cfrac {1}{10} f) \cfrac {14}{4}

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Actividad: Representación de fracciones en la recta numérica


a) Representa los números 15/6, -2/3, 8/7 y 22/6 en la recta numérica.

Fracciones propias e impropias

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias


Actividad 1: Separa las fracciones propias de las impropias.

ejercicio

Proposición: Transformar una fración impropia a forma mixta (un entero más una fracción propia)


Toda fracción impropia \cfrac{D}{d} se puede escribir en la forma c+\cfrac{r}{d} donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

ejercicio

Ejemplo: Fracciones impropias


Descompón la frácción impropia \cfrac{35}{8} en la suma de un entero y una fracción propia (forma mixta).

Calculadora

Calculadora: Fracciones impropias


Para convertir una fracción impropia en la suma de un número entero y una fracción propia (forma mixta) usaremos la tecla Fracción.

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Actividad: Expresar fracciones en forma mixta


a) Expresa en forma mixta: \cfrac{66}{8}.

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, \cfrac{3}{5}=\cfrac{6}{10}=\cfrac{9}{15}

Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c

Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes.

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Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes


Actividad 1: Busca una fracción equivalente a la dada.
Actividad 2: Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).
Actividad 3: Junta las fracciones equivalentes.

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Actividad: Fracciones equivalentes


a) ¿Son equivalentes las fracciones: \cfrac{124}{360} y \cfrac{31}{90}?

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es irreducible.

ejercicio

Actividades Interactivas: Simplificación de fracciones


Actividad 1: Simplifica las fracciones.
Actividad 2: Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible.

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Actividad: Simplicar fracciones


a) Simplifica \cfrac{140}{26}.

Orden en el conjunto de los racionales

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador. Por eso, para ordenar fracciones, debemos primero obtener fracciones equivalentes a las dadas, pero con el mismo denominador. A ésto se le llama reducir a común denominador. Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Ordenar fracciones


Ordena las fracciones:
\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}

ejercicio

Actividad Interactiva: Ordenar fracciones


Actividad 1: Ordena de menor a mayor estas fracciones.

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Actividad: Ordenar fracciones


a) Ordena de menor a mayor las fracciones: :\cfrac {5}{12} \quad \cfrac{3}{6}\quad \cfrac{5}{8}\quad\cfrac{1}{3}

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Fracciones equivalentes


1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}

2. Simplifica las fracciones:

a) \cfrac{70}{14} b) \cfrac{300}{420} c) \cfrac{105}{60}

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